Aplicações de Derivadas: Teste da Derivada Segunda

Por que estudar o teste da derivada segunda?

O estudo do sinal de \(f'(x)\) já permite classificar extremos relativos. Porém, em muitos casos, a derivada segunda oferece um caminho mais direto. Quando um ponto crítico satisfaz certas condições, o sinal de \(f''(x)\) revela a concavidade da função e ajuda a decidir se temos máximo ou mínimo relativo.

Se \(f'(c)=0\) e a derivada segunda existe, o sinal de \(f''(c)\) pode classificar o ponto crítico sem precisar montar toda a tabela de sinais de \(f'(x)\).

f'(c)=0,\quad f''(c)>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo} \qquad f''(c)<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}

1. Ideia central do teste

Se \(f''(c) > 0\)

A função é côncava para cima perto de \(c\). O ponto crítico tende a ser um mínimo relativo.

Se \(f''(c) < 0\)

A função é côncava para baixo perto de \(c\). O ponto crítico tende a ser um máximo relativo.

Se \(f''(c) = 0\)

O teste da derivada segunda é inconclusivo. Nesse caso, é preciso usar outro método.

Atenção: o teste só é aplicado depois que encontramos um ponto crítico, isto é, um valor \(c\) tal que \(f'(c)=0\) ou em que \(f'(c)\) não exista, quando fizer sentido no problema.

2. Método prático

Passo 1 — Encontrar a derivada primeira:

Calcule \(f'(x)\).

Passo 2 — Determinar os pontos críticos:

Resolva \(f'(x)=0\).

Passo 3 — Calcular a derivada segunda:

Encontre \(f''(x)\).

Passo 4 — Testar no ponto crítico:

Avalie \(f''(c)\). Se for positiva, há mínimo relativo. Se for negativa, há máximo relativo. Se for zero, o teste não decide.

Passo 5 — Encontrar a coordenada do ponto:

Depois de classificar, calcule \(f(c)\).

3. Exemplos guiados

A seguir, veja quatro exemplos clássicos do uso do teste da derivada segunda.

Exemplo 1 — \(f(x)=x^2\)

Passo 1 — Derivada primeira:

\[ f'(x)=2x \]

Passo 2 — Ponto crítico:

2x=0 \Rightarrow x=0

Passo 3 — Derivada segunda:

\[ f''(x)=2 \]

Passo 4 — Teste:

\[ f''(0)=2>0 \]

Logo, em \(x=0\), a função possui mínimo relativo.

Coordenada:

\[ f(0)=0 \]

A função possui mínimo relativo em \((0,0)\).

Exemplo 2 — \(f(x)=-x^2+4x\)

Passo 1 — Derivada primeira:

\[ f'(x)=-2x+4 \]

Passo 2 — Ponto crítico:

-2x+4=0 \Rightarrow x=2

Passo 3 — Derivada segunda:

\[ f''(x)=-2 \]

Passo 4 — Teste:

\[ f''(2)=-2<0 \]

Logo, em \(x=2\), a função possui máximo relativo.

Coordenada:

f(2)=-(2)^2+4\cdot2=4

A função possui máximo relativo em \((2,4)\).

Exemplo 3 — \(f(x)=x^3\)

Passo 1 — Derivada primeira:

\[ f'(x)=3x^2 \]

Passo 2 — Ponto crítico:

3x^2=0 \Rightarrow x=0

Passo 3 — Derivada segunda:

\[ f''(x)=6x \]

Passo 4 — Teste:

\[ f''(0)=0 \]

Como o resultado foi zero, o teste da derivada segunda é inconclusivo.

O teste da derivada segunda não permite classificar o ponto crítico em \(x=0\).

Exemplo 4 — \(f(x)=x^4-4x^2\)

Passo 1 — Derivada primeira:

\[ f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2) \]

Passo 2 — Pontos críticos:

4x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\sqrt{2},\; x=-\sqrt{2}

Passo 3 — Derivada segunda:

\[ f''(x)=12x^2-8 \]

Passo 4 — Teste:

f''(0)=-8<0 \Rightarrow \text{máximo relativo} \] \[ f''(\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo} \] \[ f''(-\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}

Coordenadas:

f(0)=0 \] \[ f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4-4(\sqrt{2})^2=4-8=-4 \] \[ f(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^4-4(-\sqrt{2})^2=4-8=-4

A função possui máximo relativo em \((0,0)\) e mínimos relativos em \((\sqrt{2},-4)\) e \((-\sqrt{2},-4)\).

4. Síntese para o estudante

Condição no ponto crítico \(c\)	Interpretação	Conclusão
\(f'(c)=0\) e \(f''(c)>0\)	Concavidade para cima	Mínimo relativo
\(f'(c)=0\) e \(f''(c)<0\)	Concavidade para baixo	Máximo relativo
\(f'(c)=0\) e \(f''(c)=0\)	O teste não decide	Inconclusivo

O teste da derivada segunda é rápido e eficiente, mas não substitui completamente o estudo do sinal da derivada primeira. Quando \(f''(c)=0\), será necessário recorrer a outro método.

5. Aplicações em que a derivada segunda decide máximo ou mínimo

Agora vamos ver três situações aplicadas em que a derivada segunda não aparece apenas como uma regra, mas como uma ferramenta de decisão. Primeiro encontramos o ponto crítico com \(f'(x)=0\). Depois usamos \(f''(x)\) para decidir se aquele ponto produz máximo ou mínimo.

A linha de raciocínio será sempre esta: encontrar o ponto crítico, calcular a segunda derivada, observar o sinal e interpretar a concavidade.

Traçado mental do teste:

1º \(f'(c)=0\) ponto crítico

➜

2º \(f''(c)\) decide a concavidade

Aplicação 1 — Receita máxima em vendas

Uma empresa estima que sua receita, em função de uma variável \(x\), seja dada por:

\[ R(x)=-2x^2+120x+500. \]

Etapa 1 — Entender o que deve ser decidido:

Queremos encontrar o valor de \(x\) que torna a receita máxima. Como estamos trabalhando com uma função que representa receita, o ponto crítico será analisado para saber se ele corresponde ao maior ganho possível dentro do modelo.

Etapa 2 — Calcular a derivada primeira:

\[ R'(x)=-4x+120. \]

A derivada primeira mede a variação instantânea da receita. O ponto crítico ocorre quando essa variação se anula.

Etapa 3 — Encontrar o ponto crítico:

-4x+120=0 \] \[ -4x=-120 \] \[ x=30.

O candidato encontrado é \(x=30\). Agora a questão é decidir se esse ponto produz máximo ou mínimo.

Etapa 4 — Calcular a derivada segunda:

\[ R''(x)=-4. \]

Etapa 5 — Traçar a decisão pela concavidade:

\(R''(30)=-4\) valor negativo

➜

concavidade para baixo situação de máximo

\[ R''(30)=-4<0. \]

Etapa 6 — Interpretar a resposta:

Como a segunda derivada é negativa, o gráfico fica voltado para baixo nas proximidades do ponto crítico. Portanto, \(x=30\) produz uma receita máxima.

A receita é máxima quando \(x=30\). A derivada segunda decidiu o tipo de extremo: como \(R''(30)<0\), temos máximo.

Aplicação 2 — Custo mínimo de produção

O custo de produção de uma fábrica é modelado pela função:

\[ C(x)=x^2-16x+100. \]

Etapa 1 — Entender o objetivo:

Neste caso, o interesse é encontrar o menor custo possível. O ponto crítico indicará uma quantidade candidata, mas a decisão final será feita pela derivada segunda.

Etapa 2 — Calcular a derivada primeira:

\[ C'(x)=2x-16. \]

Etapa 3 — Encontrar o ponto crítico:

2x-16=0 \] \[ 2x=16 \] \[ x=8.

O candidato ao extremo é \(x=8\). Agora precisamos verificar a concavidade do custo nesse ponto.

Etapa 4 — Calcular a derivada segunda:

\[ C''(x)=2. \]

Etapa 5 — Traçar a decisão pela concavidade:

\(C''(8)=2\) valor positivo

➜

concavidade para cima situação de mínimo

\[ C''(8)=2>0. \]

Etapa 6 — Interpretar a resposta:

Como a segunda derivada é positiva, o gráfico do custo fica voltado para cima nas proximidades do ponto crítico. Portanto, \(x=8\) produz um custo mínimo.

O custo é mínimo quando \(x=8\). A derivada segunda decidiu o tipo de extremo: como \(C''(8)>0\), temos mínimo.

Aplicação 3 — Volume máximo de uma caixa sem tampa

Uma folha retangular de \(30\text{ cm}\) por \(20\text{ cm}\) será transformada em uma caixa sem tampa. Para isso, serão cortados quadrados de lado \(x\) nos quatro cantos.

Etapa 1 — Construir a função volume:

Após os cortes, a altura da caixa será \(x\). O comprimento da base será \(30-2x\) e a largura será \(20-2x\). Assim, o volume é:

\[ V(x)=x(30-2x)(20-2x). \]

Desenvolvendo a expressão, obtemos:

\[ V(x)=4x^3-100x^2+600x. \]

Etapa 2 — Observar o domínio físico:

Como a folha mede \(30\text{ cm}\times 20\text{ cm}\), após cortar quadrados de lado \(x\) em cada canto, as dimensões da base passam a ser \(30-2x\) e \(20-2x\), enquanto a altura da caixa passa a ser \(x\).

Os quadrados amarelos representam os cortes de lado \(x\). A região central forma a base da caixa após as dobras.

Para que a caixa exista fisicamente, todas as medidas devem ser positivas:

x>0, \qquad 30-2x>0, \qquad 20-2x>0.

Da condição \(30-2x>0\), obtemos \(x<15\).
Da condição \(20-2x>0\), obtemos \(x<10\).

0 \lt x \lt 10.

Esse é o domínio físico do problema e garante que altura, comprimento e largura sejam positivos.

Observe que a restrição mais forte vem da largura \(20-2x\), por isso o limite final é \(x \lt 10\).

Etapa 3 — Calcular a derivada primeira:

\[ V'(x)=12x^2-200x+600. \]

Etapa 4 — Encontrar os pontos críticos:

12x^2-200x+600=0 \] \[ 3x^2-50x+150=0.

Pela fórmula quadrática:

x=\frac{50\pm\sqrt{700}}{6}.

Aproximadamente:

x\approx 3{,}92 \qquad \text{ou} \qquad x\approx 12{,}75.

Como o domínio físico é \(0

Etapa 5 — Calcular a derivada segunda:

\[ V''(x)=24x-200. \]

Etapa 6 — Traçar a decisão pela derivada segunda:

V''(3{,}92)=24(3{,}92)-200 \] \[ V''(3{,}92)\approx 94{,}08-200=-105{,}92<0.

\(V''(3{,}92)<0\) valor negativo

➜

concavidade para baixo volume máximo

Etapa 7 — Interpretar a resposta:

Como a segunda derivada é negativa no ponto crítico viável, o volume cresce até esse ponto e depois passa a diminuir. Assim, \(x\approx 3{,}92\text{ cm}\) produz volume máximo.

O volume máximo ocorre quando são cortados quadrados de lado aproximadamente \(3{,}92\text{ cm}\). A derivada segunda confirma que esse ponto produz máximo.

6. Sequência de estudo

Esta etapa aprofunda a sequência sobre aplicações da derivada. O estudante pode voltar às páginas anteriores para revisar a construção do raciocínio ou avançar para problemas de otimização.

Primeira etapa Crescimento e Decrescimento Revisar base

Etapa anterior Extremos Relativos Voltar

Aplicação relacionada Otimização com Derivadas Estudar