Por que começar por crescimento e decrescimento?
Antes de estudar máximos, mínimos, otimização e taxas relacionadas, o estudante precisa compreender uma ideia essencial:
a derivada primeira permite descobrir onde uma função está crescendo, onde está decrescendo e onde pode mudar de comportamento.
A derivada não serve apenas para calcular uma nova fórmula. Ela ajuda a interpretar o movimento, a tendência e o comportamento de uma grandeza.
\[
f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ cresce}
\qquad
f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decresce}
\qquad
f'(x)=0 \Rightarrow x \text{ pode ser número crítico}
\]
1. A derivada como indicador de comportamento
Derivada positiva
Quando \(f'(x)>0\), a inclinação da tangente é positiva. A função tende a subir.
Derivada negativa
Quando \(f'(x)<0\), a inclinação da tangente é negativa. A função tende a descer.
Derivada nula
Quando \(f'(x)=0\), a tangente é horizontal. Pode haver mudança de comportamento.
2. Estudo de sinais da derivada primeira
O estudo de sinais da derivada primeira é a ponte entre as regras de derivação e as aplicações práticas.
Primeiro derivamos, depois encontramos os números críticos e, em seguida, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo.
\[
f(x)=x^2
\qquad \Rightarrow \qquad
f'(x)=2x
\]
O número crítico é obtido resolvendo:
\[
2x=0 \Rightarrow x=0
\]
Reta de sinais da derivada \(f'(x)=2x\):
\(x<0\)
\(f'(x)<0\)
\(0\)
\(x>0\)
\(f'(x)>0\)
| Intervalo |
Sinal de \(f'(x)\) |
Comportamento de \(f\) |
| \((-\infty,0)\) |
negativo |
decrescente |
| \(x=0\) |
zero |
número crítico |
| \((0,+\infty)\) |
positivo |
crescente |
3. Seis exemplos guiados
A seguir, veremos seis exemplos em ordem crescente de dificuldade. A ideia é mostrar que o mesmo método funciona para polinômios, funções racionais e produtos de funções.
Exemplo 1 — \(f(x)=x^2\)
Passo 1 — Derivada:
\[ f'(x)=2x \]
Passo 2 — Número crítico:
\[ 2x=0 \Rightarrow x=0 \]
Sinal de \(f'(x)\):
\(-\)
\((-\infty,0)\)
\(0\)
\(+\)
\((0,+\infty)\)
A função decresce em \((-\infty,0)\) e cresce em \((0,+\infty)\).
Exemplo 2 — \(f(x)=-x^2+4x\)
Passo 1 — Derivada:
\[ f'(x)=-2x+4 \]
Passo 2 — Número crítico:
\[ -2x+4=0 \Rightarrow x=2 \]
Sinal de \(f'(x)\):
\(+\)
\((-\infty,2)\)
\(2\)
\(-\)
\((2,+\infty)\)
A função cresce em \((-\infty,2)\) e decresce em \((2,+\infty)\).
Exemplo 3 — \(f(x)=x^3-3x\)
Passo 1 — Derivada:
\[
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)
\]
Passo 2 — Números críticos:
\[
3(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ ou } x=1
\]
Sinal de \(f'(x)\):
\(+\)
\((-\infty,-1)\)
\(-1\)
\(-\)
\((-1,1)\)
\(1\)
\(+\)
\((1,+\infty)\)
A função cresce em \((-\infty,-1)\), decresce em \((-1,1)\) e volta a crescer em \((1,+\infty)\).
Exemplo 4 — \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)
Passo 1 — Domínio:
Como \(x^2+1>0\) para todo \(x\), o domínio é \(\mathbb{R}\).
Passo 2 — Derivada:
\[
f'(x)=\frac{(x^2+1)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
=
\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
\]
Passo 3 — Números críticos:
\[
1-x^2=0 \Rightarrow x=-1 \text{ ou } x=1
\]
Sinal de \(f'(x)\):
\(-\)
\((-\infty,-1)\)
\(-1\)
\(+\)
\((-1,1)\)
\(1\)
\(-\)
\((1,+\infty)\)
A função decresce em \((-\infty,-1)\), cresce em \((-1,1)\) e decresce em \((1,+\infty)\).
Exemplo 5 — \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}\)
Aqui aparece um cuidado importante: além dos números críticos, precisamos observar os pontos que não pertencem ao domínio.
Passo 1 — Domínio:
\[
x^2-4\neq 0 \Rightarrow x\neq -2 \text{ e } x\neq 2
\]
Passo 2 — Derivada:
\[
f(x)=(x^2-4)^{-1}
\]
\[
f'(x)=-(x^2-4)^{-2}\cdot 2x
=
\frac{-2x}{(x^2-4)^2}
\]
Passo 3 — Número crítico:
\[
-2x=0 \Rightarrow x=0
\]
Sinal de \(f'(x)\), respeitando o domínio:
\(+\)
\((-\infty,-2)\)
\(-2\)
fora
\(+\)
\((-2,0)\)
\(0\)
\(-\)
\((0,2)\)
\(2\)
fora
\(-\)
\((2,+\infty)\)
A função cresce em \((-\infty,-2)\) e \((-2,0)\). Decresce em \((0,2)\) e \((2,+\infty)\).
Exemplo 6 — \(f(x)=x(4-x)^2\)
Passo 1 — Derivada usando produto e cadeia:
\[
f'(x)=1\cdot(4-x)^2+x\cdot 2(4-x)(-1)
\]
\[
f'(x)=(4-x)^2-2x(4-x)
\]
Passo 2 — Fatoração da derivada:
\[
f'(x)=(4-x)\big[(4-x)-2x\big]
\]
\[
f'(x)=(4-x)(4-3x)
\]
Passo 3 — Números críticos:
\[
4-x=0 \Rightarrow x=4
\]
\[
4-3x=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}
\]
Sinal de \(f'(x)=(4-x)(4-3x)\):
\(+\)
\((-\infty,\frac{4}{3})\)
\(\frac{4}{3}\)
\(-\)
\((\frac{4}{3},4)\)
\(4\)
\(+\)
\((4,+\infty)\)
A função cresce em \((-\infty,\frac{4}{3})\), decresce em \((\frac{4}{3},4)\) e volta a crescer em \((4,+\infty)\).
4. Teorema do Valor Médio: a ponte para entender o crescimento
O Teorema do Valor Médio conecta a inclinação da reta secante com a inclinação de uma reta tangente em algum ponto intermediário.
Entre dois pontos de uma curva suave, existe pelo menos um ponto em que a reta tangente tem a mesma inclinação da reta secante.
\[
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},
\qquad a \lt c \lt b
\]
Exemplo A — \(f(x)=x^2\) em \([1,3]\) | Clique para ver a solução passo a passo
Taxa média:
\[
\frac{f(3)-f(1)}{3-1}
=
\frac{9-1}{2}
=
4
\]
Encontrando \(c\):
\[
f'(c)=4
\]
\[
2c=4 \Rightarrow c=2
\]
Existe \(c=2\), entre \(1\) e \(3\), em que a tangente tem a mesma inclinação da secante.
Exemplo B — \(f(x)=\sqrt{x+1}\) em \([0,8]\) | Clique para ver a solução passo a passo
Taxa média:
\[
f(0)=1
\qquad
f(8)=3
\]
\[
\frac{f(8)-f(0)}{8-0}
=
\frac{3-1}{8}
=
\frac{1}{4}
\]
Derivada:
\[
f(x)=(x+1)^{1/2}
\]
\[
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}
\]
Encontrando \(c\):
\[
\frac{1}{2\sqrt{c+1}}=\frac{1}{4}
\]
\[
4=2\sqrt{c+1}
\]
\[
2=\sqrt{c+1}
\]
\[
4=c+1
\]
\[
c=3
\]
Existe \(c=3\), entre \(0\) e \(8\), em que a tangente tem a mesma inclinação da secante.
6. Teorema do Decrescimento
O raciocínio é semelhante. Se a derivada é negativa em todo o intervalo, a função decresce nesse intervalo.
\[
f'(x) \lt 0 \text{ em } (a,b)
\Rightarrow
f \text{ é decrescente em } (a,b)
\]
Ideia da demonstração:
Tomando dois pontos quaisquer \(x_1\) e \(x_2\), com \(x_1 \lt x_2\),
pelo Teorema do Valor Médio existe \(c\in(x_1,x_2)\) tal que:
\[
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)
\]
Como \(f'(c) \lt 0\):
\[
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \lt 0
\]
Como \(x_2-x_1 \gt 0\):
Para a fração ser negativa e o denominador ser positivo, o numerador deve ser negativo.
\[
f(x_2)-f(x_1) \lt 0
\]
\[
f(x_2) \lt f(x_1)
\]
Portanto, se \(x_1 \lt x_2\), então \(f(x_2) \lt f(x_1)\).
Logo, \(f\) é decrescente no intervalo.
7. Síntese para o estudante
| Condição |
Interpretação |
Conclusão |
| \(f'(x)>0\) |
A tangente tem inclinação positiva |
A função cresce |
| \(f'(x)<0\) |
A tangente tem inclinação negativa |
A função decresce |
| \(f'(x)=0\) |
A tangente pode ser horizontal |
Pode haver número crítico |
O sinal da derivada transforma uma informação local em uma conclusão sobre o comportamento da função em um intervalo.
