Seno ímpar e cosseno par — o “pulo do gato” no círculo trigonométrico
Aqui todo propósito é reforçar a ideia central do estudo de Trigonometria em Cálculo Diferencial e Integral: ao comparar os ângulos t e −t no círculo unitário, enxergamos imediatamente por que sen(−t) = −sen(t) e cos(−t) = cos(t).
1) A ideia-chave
No círculo unitário, o ponto associado ao ângulo t é explícito pela condição P(t) = (cos t, sen t).
Já o ponto associado ao ângulo −t é o seu simétrico em relação ao eixo x, isto é,
P(−t) = (cos t, −sen t).
sen(−t) = −sen(t)
Portanto, o seno é função ímpar.
cos(−t) = cos(t)
Portanto, o cosseno é função par.
P(t) = (cos t, sen t)
P(−t) = (cos t, −sen t)
mesmo valor de x
valores opostos de y
2) Como ler a figura
Para o cosseno
O valor do cosseno é a abscissa do ponto no círculo. Como os pontos de t e −t têm a mesma abscissa, o cosseno não muda de sinal.
Para o seno
O valor do seno é a ordenada do ponto no círculo. Ao refletir no eixo x, a ordenada muda de sinal, logo o seno troca de sinal.
Em termos geométricos: a reflexão em relação ao eixo x preserva o valor horizontal e inverte o valor vertical.
3) Ilustração interativa principal
A barra percorre apenas os ângulos clássicos da tabela anexa, para manter os valores exatos de seno e cosseno.
Seleção rápida:
ponto e raio de t
ponto e raio de −t
mesma abscissa = mesmo cosseno
ordenadas opostas = senos opostos
4) Leitura numérica do ângulo escolhido
Ângulo positivo
30° = π/6
Ângulo negativo
−30° = −π/6
sen(t)
1/2
sen(−t)
−1/2
cos(t)
√3/2
cos(−t)
√3/2
Ponto P(t)
(√3/2, 1/2)
Ponto P(−t)
(√3/2, −1/2)
Conclusão geométrica
Mesmo x, y oposto ⇒ cos(−t)=cos(t) e sen(−t)=−sen(t).
Interpretação direta:
• o cosseno mede a posição horizontal do ponto no círculo;
• o seno mede a posição vertical do ponto no círculo.
Refletir um ponto no eixo x não altera a parte horizontal, mas troca o sinal da parte vertical.
• o cosseno mede a posição horizontal do ponto no círculo;
• o seno mede a posição vertical do ponto no círculo.
Refletir um ponto no eixo x não altera a parte horizontal, mas troca o sinal da parte vertical.
5) Tabela interativa dos valores conhecidos
Clique em uma linha para mostrar o ângulo no círculo e comparar imediatamente os valores de t e −t.
| t | sen t | cos t |
|---|
6) Fórmulas que o aluno precisa guardar
P(t) = (cos t, sen t)
P(−t) = (cos t, −sen t)
sen(−t) = −sen(t)
Seno: função ímpar.
cos(−t) = cos(t)
Cosseno: função par.