Objetivos de aprendizagem
Reconhecer os limites fundamentais
Interpretar comportamento gráfico
Aplicar manipulação algébrica
Usar o Teorema do Confronto
Teoria essencial
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=1$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$$
Visualização gráfica
Selecione a função para ver a demonstração visual do seu limite.
Exemplos resolvidos passo a passo
(a) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(-x)}{x}$$
Usamos a propriedade de função ímpar do seno: $$\sen(-x) = -\sen x$$.
Substituindo no limite, temos: $$\lim_{x\to 0}\frac{-\sen x}{x}$$
Tirando o sinal negativo do limite: $$-\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}$$
Aplicando o limite fundamental, o resultado é: -1.
(b) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(kx)}{x}$$
O argumento do seno é $$kx$$. Precisamos que o denominador também seja $$kx$$.
Multiplicamos e dividimos a expressão por $$k$$: $$\frac{\sen(kx)}{kx} \cdot k$$
Como $$\lim_{u\to 0}\frac{\sen u}{u}=1$$, aplicando o limite temos: $$1 \cdot k$$
Portanto, o limite é: $$k$$.
(c) $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}$$
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador: $$(1 + \cos x)$$.
A expressão fica: $$\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}$$.
Aplicando o produto notável (soma pela diferença): $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x(1+\cos x)}$$.
Usando a identidade trigonométrica ($$\sen^2 x = 1 - \cos^2 x$$): $$\lim_{x\to 0} \frac{\sen^2 x}{x(1+\cos x)}$$.
Separando para evidenciar o limite fundamental: $$\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sen x}{x} \cdot \frac{\sen x}{1+\cos x} \right)$$.
Aplicando o limite: o primeiro termo vale $$1$$ e o segundo avaliamos como $$\frac{0}{1+1} = 0$$.
Portanto, $$1 \cdot 0$$. O resultado final é: 0.
(d) $$\lim_{x\to 0}x\sen\left(\frac{1}{x}\right)$$
A função seno é limitada. Para qualquer $$x \neq 0$$, $$-1 \le \sen\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$$.
Multiplicamos toda a desigualdade por $$|x|$$: $$-|x| \le x\sen\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|$$.
Como $$\lim_{x\to 0}(-|x|) = 0$$ e $$\lim_{x\to 0}(|x|) = 0$$, aplicamos o Teorema do Confronto.
Logo, o limite da função central também deve ser: 0.
(e) $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(kx)}{x}$$
O argumento da tangente é $$kx$$.
Multiplicamos e dividimos por $$k$$ para reescrever a expressão: $$\frac{\tan(kx)}{kx} \cdot k$$.
Pelo limite fundamental da tangente, $$\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1$$.
Substituindo, obtemos $$1 \cdot k$$. O resultado é: $$k$$.
(f) $$\lim_{x\to 0}x\tan x$$
Podemos analisar o comportamento local. Quando $$x \to 0$$, sabemos que $$\tan x \sim x$$.
Substituindo o comportamento, a expressão inteira se comporta como $$x \cdot x = x^2$$.
Avaliando $$\lim_{x\to 0} x^2$$, fazemos a substituição direta $$(0 \cdot 0)$$.
O limite é: 0.
(g) $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{4x}$$
O numerador $$\cos x - 1$$ tem sinais invertidos em relação ao limite fundamental.
Colocamos o sinal de menos em evidência: $$- (1 - \cos x)$$.
Separamos as constantes do limite: $$-\frac{1}{4} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}$$.
Como o limite fundamental é zero, temos $$-\frac{1}{4} \cdot 0$$. O resultado é: 0.
(h) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(ax)}{\sen(bx)}$$
Dividimos o numerador e o denominador por $$x$$ para forçar a estrutura do limite: $$\frac{\frac{\sen(ax)}{x}}{\frac{\sen(bx)}{x}}$$.
Sabemos que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(kx)}{x} = k$$.
Aplicando a regra do quociente, calculamos o limite do numerador ($$a$$) e do denominador ($$b$$).
Logo, o resultado final da divisão é: $$\frac{a}{b}$$.
Exercícios propostos
Sugestão didática: tente resolver os exercícios primeiro utilizando papel e caneta, e só depois clique para conferir o gabarito.
1. Calcule $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(5x)}{x}$$
Resposta: 5.
Dica de solução: Multiplique o numerador e o denominador por 5. Ficamos com $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(5x)}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$$.
2. Calcule $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{x}$$
Resposta: 3.
Dica de solução: Semelhante ao exercício anterior, multiplique em cima e embaixo por 3. Resulta em $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$.
3. Calcule $$\lim_{x\to 0}\frac{\sen(2x)}{\sen(7x)}$$
Resposta: $$\frac{2}{7}$$.
Dica de solução: Divida o numerador e o denominador por $$x$$. Aplique o limite individualmente em cima (dará 2) e embaixo (dará 7).
4. Calcule $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{x}$$
Resposta: 0.
Dica de solução: Multiplique e divida por 4. Ficamos com $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{4x} \cdot 4$$. Como o limite fundamental é 0, temos $$0 \cdot 4 = 0$$.
5. Justifique por confronto: $$\lim_{x\to 0}x\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$
Resposta: O limite é 0.
Dica de solução: Sabemos que $$-1 \le \cos\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$$. Multiplicando por $$|x|$$, temos $$-|x| \le x\cos\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|$$. Pelo Teorema do Confronto, o limite central é 0.