Funções Compostas | Cálculo no Cotidiano

“Em funções compostas, encontrar o domínio é descobrir quando a saída da parte interna serve de entrada para a parte externa.”

1. O que é uma função composta?

A forma mais comum é f(g(x)): primeiro age a função interna, depois a externa.

📌 Forma geral

Se y = f(g(x)), então o domínio depende de dois cuidados:

1. O valor g(x) precisa existir.

2. O valor produzido por g(x) precisa pertencer ao domínio de f.

Em linguagem simples: a parte de dentro tem que funcionar, e o resultado dela também precisa ser aceito pela parte de fora.

🧠 Exemplo imediato

h(x) = ln( x² − 5x + 6 )

A função externa é ln(u), que exige u > 0.

Aqui, u = x² − 5x + 6.

Então o domínio vem de x² − 5x + 6 > 0.

Ou seja: o domínio não é “x > 0”. O domínio é dado pela inequação aplicada à expressão interna.

2. Roteiro seguro para encontrar o domínio

Este procedimento ajuda o aluno a não se perder em expressões compostas.

Passo 1

Identifique a função externa e descubra a condição que ela exige.

ln(u) → u > 0√u → u ≥ 0tan(u) → u ≠ π/2 + kπ

Passo 2

Substitua u pela expressão interna e monte a condição algébrica correta.

u = g(x)Transformar em inequação ou exclusão

Passo 3

Resolva a condição e faça a interseção final com outras restrições que a expressão possa ter.

Estudo de sinaisDenominador ≠ 0Interseção

3. Exemplos resolvidos passo a passo

Aqui aparecem composições que realmente ajudam a consolidar o raciocínio.

Exemplo 1 — Logaritmo de quadrática

f(x) = ln(x² − 5x + 6)

Função externa: ln(u), então precisamos de u > 0.

Condição: x² − 5x + 6 > 0.

Fatorando: (x − 2)(x − 3) > 0.

Estudo de sinais: o produto é positivo quando x < 2 ou x > 3.

Domínio: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).

Reforço algébrico

Se houver dificuldade para fatorar ou analisar o sinal da quadrática, vale revisar a página funcional de função quadrática.

📊 Revisar Função Quadrática

Exemplo 2 — Radical de expressão racional

g(x) = √[(x − 1)/(x + 2)]

Função externa: √u, então precisamos de u ≥ 0.

Condição: (x − 1)/(x + 2) ≥ 0, com x ≠ −2.

Pontos críticos: x = 1 e x = −2.

Estudo de sinais: a fração é não negativa em (−∞, −2) e [1, +∞).

Domínio: (−∞, −2) ∪ [1, +∞).

Se o aluno travar aqui

Esse caso pede inequação quociente. O caminho é marcar os pontos críticos e estudar o sinal em cada intervalo.

⚖️ Revisar Inequações

Exemplo 3 — Composição mais rica

p(x) = ln( √[(x² − 4)/(x − 1)] )

Parte externa: ln(v), então precisamos de v > 0.

Mas v = √w. Para o logaritmo, não basta √w existir; é preciso que √w > 0, isto é, w > 0.

Logo, a condição final é: (x² − 4)/(x − 1) > 0.

Fatorando: (x − 2)(x + 2)/(x − 1) > 0.

Pontos críticos: x = −2, 1, 2.

Estudo de sinais: a expressão é positiva em (−2, 1) ∪ (2, +∞).

Domínio: (−2, 1) ∪ (2, +∞).

Observe a sutileza: se fosse apenas a raiz, a condição seria ≥ 0. Como a raiz entrou dentro do logaritmo, a condição ficou > 0.

Exemplo 4 — Composição trigonométrica

q(x) = tan( √(x − 1) )

Primeira condição: √(x − 1) precisa existir, então x ≥ 1.

Segunda condição: a tangente falha quando o argumento vale π/2 + kπ.

Então devemos excluir: √(x − 1) ≠ π/2 + kπ, com k ∈ Z e valores não negativos.

Elevando ao quadrado: x ≠ 1 + (π/2 + kπ)², para k = 0, 1, 2, ...

Domínio: x ≥ 1, exceto nos valores x = 1 + (π/2 + kπ)², para k = 0, 1, 2, ...

Por que esse exemplo é valioso?

Porque mostra que, em funções compostas, as restrições podem vir em camadas. Primeiro a raiz, depois a tangente.

📐 Revisar Trigonometria

⚠️ Erros comuns

Dizer que ln(x² − 5x + 6) exige apenas x > 0.

Esquecer que, em ln(√u), a condição é u > 0, e não u ≥ 0.

Resolver a inequação, mas esquecer de excluir pontos de denominador nulo.

Analisar a função externa sem observar se a interna já impõe restrições.

💡 Leitura pedagógica

Em composições, a palavra-chave é compatibilidade. A função externa aceita apenas certos tipos de entrada. A expressão interna precisa fornecer exatamente isso.

Quando o aluno enxerga essa lógica, ele não depende mais de decorar casos isolados.

4. Laboratório interativo do domínio

Escolha um exemplo e veja o domínio destacado na reta real.

🧪 Explorador

Escolha a função:

Na reta, intervalos verdes indicam onde a função está definida. Círculo preenchido: extremo incluído. Círculo vazado: extremo excluído.

📋 Diagnóstico do exemplo

Função interna Função externa

Condição principal

Domínio final

5. Ligação com a regra da cadeia

Esta página não é de derivação, mas prepara diretamente o terreno.

🔗 Fórmula central

Se y = f(g(x)), então y' = f'(g(x)) · g'(x)

A regra da cadeia nasce da mesma leitura estrutural feita no domínio: existe uma função “de dentro” e outra “de fora”.

🧠 Por que isso ajuda?

Quando o aluno identifica a parte interna e a externa para estudar o domínio, ele já está treinando o olhar usado depois na derivação.

Exemplo: em ln(x² − 5x + 6), o mesmo reconhecimento da estrutura serve para o domínio e para a derivada.

Assim, o aprendizado fica conectado e ganha mais sentido.

6. Quadro-resumo

Uma síntese para consulta rápida durante o estudo.

📘 Resumo operacional

Tipo de composição	Condição principal	Cuidado extra
ln(g(x))	g(x) > 0	Resolver inequação corretamente
√(g(x))	g(x) ≥ 0	Excluir denominadores nulos, se houver
ln(√(g(x)))	g(x) > 0	A raiz precisa ser positiva, não apenas existir
tan(g(x))	g(x) ≠ π/2 + kπ	Combinar com outras restrições internas
Composição mista	Interseção das condições	Não esquecer nenhuma camada

7. Quiz de fixação

Uma checagem rápida para consolidar a leitura correta das composições.

Questão 1

Em ln(g(x)), a condição correta para o domínio é:

Questão 2

Na função √[(x − 1)/(x + 2)], a condição principal é:

Questão 3

Em ln(√u), a condição sobre u é:

Questão 4

O principal elo entre funções compostas e regra da cadeia é:

Próximo passo recomendado

Agora o estudante já tem base para uma revisão final de domínios mistos e, em seguida, pode avançar com mais segurança para as aplicações da regra da cadeia nas derivadas.

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