Exercício 1
Nível 1Derive \(f(x)=x^7\).
Dica: Pense na regra da potência pura.
1. A função é uma potência simples de \(x\).
2. Aplicando a regra, derivamos o expoente e reduzimos uma unidade no expoente.
Solução final: \(f'(x)=7x^6\)
“No Cálculo, entender a regra certa no momento certo vale mais do que tentar decorar tudo de uma vez.”
🔗 Diálogo entre as duas páginas
Esta página foi pensada para continuar a trilha iniciada em Derivada por Definição. A primeira fortalece o sentido conceitual da derivada; esta segunda fortalece a execução técnica com treino progressivo.
Fluxo sugerido
1. Revisar a ideia de taxa média, limite e reta tangente.
2. Avançar para as regras de derivação.
3. Treinar com ajuda em camadas: dica, próximo passo, desenvolvimento e solução final.
1. Regras de derivação que precisam ficar firmes
Antes do treino pesado, vale deixar em evidência as regras que serão usadas ao longo da página.
Regra da constante e da potência
\( \dfrac{d}{dx}(c)=0 \qquad \text{e} \qquad \dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} \)
Essas são as regras mais básicas. Elas aparecem o tempo todo quando derivamos polinômios e expressões com expoentes racionais.
Soma, diferença e constante multiplicando
\( \dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v' \qquad \text{e} \qquad \dfrac{d}{dx}[ku]=k\,u' \)
Quando os termos estão somando ou subtraindo, derivamos termo a termo. Se houver uma constante multiplicando a função, ela permanece.
Regra do produto
\( \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv' \)
Quando duas funções estão sendo multiplicadas, não se deriva cada uma isoladamente e depois multiplica. A regra correta é a soma dos dois produtos acima.
Regra do quociente
\( \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, \; v\neq 0 \)
No quociente, o denominador é elevado ao quadrado e o numerador segue a ordem: derivada de cima vezes baixo, menos cima vezes derivada de baixo.
Regra da cadeia
\( \dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\,g'(x) \)
Ela entra em cena quando há uma função dentro de outra, como potências de binômios, raízes de expressões e logaritmos de funções.
Algumas derivadas clássicas
\( \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x,\quad \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x \)
\( \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x,\quad \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} \)
\( \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x,\quad \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} \)
Essas derivadas são muito frequentes. Quando o argumento não for apenas \(x\), aplica-se também a regra da cadeia.
2. Como escolher a regra certa
Este pequeno roteiro ajuda bastante quem ainda está ganhando confiança.
Roteiro rápido
Passo 1. Pergunte se a expressão é uma soma ou subtração de termos. Se for, derive termo a termo.
Passo 2. Veja se existe produto entre funções. Se houver, use a regra do produto.
Passo 3. Veja se existe quociente entre funções. Se houver, use a regra do quociente.
Passo 4. Se houver “função dentro de função”, como \((3x-1)^5\) ou \(\sqrt{2x+5}\), use a regra da cadeia.
Passo 5. Simplifique só depois de montar corretamente a derivada.
Erros mais comuns
Esquecer a cadeia
Trocar a ordem do quociente
Esquecer o denominador ao quadrado
Simplificar cedo demais
Uma boa prática é sempre escrever, antes de calcular, quais são \(u\), \(v\), \(u'\) e \(v'\), ou identificar claramente a função externa e a função interna.
3. Dez exercícios resolvidos passo a passo
A sequência começa com situações mais diretas e avança para exemplos que exigem mais atenção.
📚 Blocos recolhíveis para estudo autônomo
Abra apenas o exemplo que deseja estudar. Isso deixa a página mais limpa em aula e ajuda o estudante a focar em uma ideia por vez.
Exemplo 1 — Regra da potência
Derive \(f(x)=x^5\).
Exemplo 1 — Regra da potência
Derive \(f(x)=x^5\).
Identificação: trata-se de uma potência de \(x\).
Regra usada: \(\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\).
Aplicando: \(f'(x)=5x^{4}\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=5x^4}\).
Exemplo 2 — Polinômio termo a termo
Derive \(f(x)=4x^3-3x^2+2x-7\).
Exemplo 2 — Polinômio termo a termo
Derive \(f(x)=4x^3-3x^2+2x-7\).
Observe: a expressão é uma soma e diferença de termos.
Derivando termo a termo: \((4x^3)'=12x^2\), \((-3x^2)'=-6x\), \((2x)'=2\) e \((-7)'=0\).
Juntando tudo: \(f'(x)=12x^2-6x+2\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=12x^2-6x+2}\).
Exemplo 3 — Expoentes racionais
Derive \(f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\).
Exemplo 3 — Expoentes racionais
Derive \(f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\).
Reescrevendo: \(f(x)=x^{1/2}+x^{-1}\).
Aplicando a regra da potência: \((x^{1/2})'=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\) e \((x^{-1})'=-x^{-2}\).
Voltando à forma usual: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}}\).
Exemplo 4 — Regra do produto
Derive \(f(x)=(x^2+1)(x-4)\).
Exemplo 4 — Regra do produto
Derive \(f(x)=(x^2+1)(x-4)\).
Escolha: \(u=x^2+1\) e \(v=x-4\).
Derivadas: \(u'=2x\) e \(v'=1\).
Aplicando a regra: \(f'(x)=u'v+uv'=2x(x-4)+(x^2+1)\).
Simplificando: \(f'(x)=2x^2-8x+x^2+1=3x^2-8x+1\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=3x^2-8x+1}\).
Exemplo 5 — Regra do quociente
Derive \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\).
Exemplo 5 — Regra do quociente
Derive \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\).
Escolha: \(u=2x-1\) e \(v=x+3\).
Derivadas: \(u'=2\) e \(v'=1\).
Aplicando a regra: \(f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}\).
Simplificando o numerador: \(2x+6-2x+1=7\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{7}{(x+3)^2}}\).
Exemplo 6 — Regra da cadeia com potência
Derive \(f(x)=(3x-2)^5\).
Exemplo 6 — Regra da cadeia com potência
Derive \(f(x)=(3x-2)^5\).
Função externa: \(y=t^5\).
Função interna: \(t=3x-2\).
Derivadas parciais: \(\dfrac{dy}{dt}=5t^4\) e \(\dfrac{dt}{dx}=3\).
Aplicando a cadeia: \(f'(x)=5(3x-2)^4\cdot 3\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=15(3x-2)^4}\).
Exemplo 7 — Regra da cadeia com raiz
Derive \(f(x)=\sqrt{2x+5}\).
Exemplo 7 — Regra da cadeia com raiz
Derive \(f(x)=\sqrt{2x+5}\).
Reescrevendo: \(f(x)=(2x+5)^{1/2}\).
Derivada da externa: \(\dfrac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\).
Derivada da interna: \((2x+5)'=2\).
Aplicando a cadeia: \(f'(x)=\dfrac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\cdot 2=(2x+5)^{-1/2}\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}}\).
Exemplo 8 — Função trigonométrica composta
Derive \(f(x)=\sin(4x)\).
Exemplo 8 — Função trigonométrica composta
Derive \(f(x)=\sin(4x)\).
Função externa: seno.
Função interna: \(4x\).
Derivando: \((\sin(4x))'=\cos(4x)\cdot 4\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=4\cos(4x)}\).
Exemplo 9 — Logaritmo de função
Derive \(f(x)=\ln(x^2+1)\).
Exemplo 9 — Logaritmo de função
Derive \(f(x)=\ln(x^2+1)\).
Função externa: \(\ln t\).
Função interna: \(t=x^2+1\).
Derivadas: \((\ln t)'=\dfrac{1}{t}\) e \((x^2+1)'=2x\).
Aplicando a cadeia: \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot 2x\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}}\).
Exemplo 10 — Questão mista
Derive \(f(x)=\dfrac{(x^2+1)^2}{x}\).
Exemplo 10 — Questão mista
Derive \(f(x)=\dfrac{(x^2+1)^2}{x}\).
Escolha: \(u=(x^2+1)^2\) e \(v=x\).
Derivando o numerador: pela cadeia, \(u'=2(x^2+1)\cdot 2x=4x(x^2+1)\).
Derivando o denominador: \(v'=1\).
Aplicando o quociente: \(f'(x)=\dfrac{4x(x^2+1)\cdot x-(x^2+1)^2}{x^2}\).
Fatorando: \(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)(4x^2-x^2-1)}{x^2}=\dfrac{(x^2+1)(3x^2-1)}{x^2}\).
Resposta final: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{(x^2+1)(3x^2-1)}{x^2}}\).
4. Treino interativo — ajuda em quatro camadas
Agora o estudante pode avançar com mais autonomia: primeiro uma dica, depois o próximo passo, em seguida o desenvolvimento, e por fim a solução final.
Modo de uso
Passo 1. Tente resolver no caderno sem abrir ajuda.
Passo 2. Se travar, abra apenas a dica.
Passo 3. Persistindo a dúvida, abra o próximo passo e depois o desenvolvimento.
Passo 4. Use a solução final apenas para conferência ou correção.
Esse formato ajuda muito o estudante a não pular cedo demais para a resposta pronta.
Nível 1 — Aquecimento
Primeiros cinco exercícios para firmar potência, soma e expoentes negativos.
Exercício 2
Nível 1Derive \(f(x)=6x^4-x+9\).
Dica: Derive termo a termo.
1. \((6x^4)'=24x^3\).
2. \((-x)'=-1\).
3. \((9)'=0\).
4. Agora reúna os resultados.
Solução final: \(f'(x)=24x^3-1\)
Exercício 3
Nível 1Derive \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\).
Dica: Reescrever a fração como potência negativa ajuda muito.
1. Depois da reescrita, aplique a regra da potência: \((x^{-2})'=-2x^{-3}\).
2. Volte para a forma fracionária ao final.
Solução final: \(f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}\)
Exercício 4
Nível 1Derive \(f(x)=\sqrt{x}\).
Dica: Raiz quadrada é potência com expoente \(\frac12\).
1. Aplique a regra da potência: \((x^{1/2})'=\frac12 x^{-1/2}\).
2. Depois, volte à escrita com radical.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Exercício 5
Nível 1Derive \(f(x)=\dfrac{5}{x}\).
Dica: A constante 5 permanece multiplicando a derivada.
1. Derive apenas \(x^{-1}\): \((x^{-1})'=-x^{-2}\).
2. Multiplique o resultado por 5.
Solução final: \(f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}\)
Nível 2 — Produto e quociente
Agora entram multiplicações e divisões de funções, com leitura mais atenta da estrutura.
Exercício 6
Nível 2Derive \(f(x)=(x+2)(x-1)\).
Dica: Há multiplicação entre duas funções: pense em produto.
1. As derivadas são \(u'=1\) e \(v'=1\).
2. Aplique \((uv)'=u'v+uv'\).
3. Substitua e simplifique.
Solução final: \(f'(x)=2x+1\)
Exercício 7
Nível 2Derive \(f(x)=(x^2+3)(2x-5)\).
Dica: Use a regra do produto e só simplifique no fim.
1. \(u'=2x\) e \(v'=2\).
2. Então \(f'(x)=2x(2x-5)+(x^2+3)\cdot 2\).
3. Agora desenvolva e reúna termos semelhantes.
Solução final: \(f'(x)=6x^2-10x+6\)
Exercício 8
Nível 2Derive \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).
Dica: Há divisão entre funções: pense em quociente.
1. \(u'=2x\) e \(v'=1\).
2. Aplique: \(\dfrac{u'.v-u.v')}{v^2}\).
3. Substitua e simplifique o numerador.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}\)
Exercício 9
Nível 2Derive \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\).
Dica: O cuidado principal aqui é com os sinais do numerador.
1. \(u'=3\) e \(v'=1\).
2. Use a regra do quociente: \(\dfrac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}\).
3. Simplifique o numerador com calma.
Solução final: \(f'(x)=-\dfrac{7}{(x-2)^2}\)
Exercício 10
Nível 2Derive \(f(x)=x^2\sqrt{x}\).
Dica: Antes de derivar, tente simplificar a expressão.
1. A função vira \(x^2\cdot x^{1/2}=x^{5/2}\).
2. Agora aplique a regra da potência diretamente.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{3/2}\)
Nível 3 — Cadeia, trigonometria e logaritmo
Nesta etapa aparecem funções compostas e derivadas clássicas que exigem regra da cadeia.
Exercício 11
Nível 3Derive \(f(x)=(x^2+4x-1)^3\).
Dica: Há função dentro de função: é caso de cadeia.
1. Derivada da externa: \(3(\text{interna})^2\).
2. Derivada da interna: \(2x+4\).
3. Multiplique os dois resultados.
Solução final: \(f'(x)=3(x^2+4x-1)^2(2x+4)\)
Exercício 12
Nível 3Derive \(f(x)=\cos(2x)\).
Dica: A derivada de cosseno já traz um sinal negativo.
1. A função interna é \(u=2x\).
2. Logo, \(u'=2\).
3. Multiplique a derivada da função trigonométrica pela derivada do argumento da função.
Solução final: \(f'(x)=-2\sin(2x)\)
Exercício 13
Nível 3Derive \(f(x)=e^{5x}\).
Dica: A exponencial se repete, multiplicada pela derivada do expoente.
1. A função interna é \(u=5x\).
2. Sua derivada é \(u'=5\).
3. Agora multiplique por \(e^{5x}\).
Solução final: \(f'(x)=5e^{5x}\)
Exercício 14
Nível 3Derive \(f(x)=\ln(3x+1)\).
Dica: No logaritmo natural, a derivada da interna sobe para o numerador.
1. A função interna é \(u=3x+1\).
2. Sua derivada é \(u'=3\).
3. Substitua diretamente na fórmula.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}\)
Exercício 15
Nível 3Derive \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\).
Dica: Misture quociente com derivadas trigonométricas básicas.
1. \(u'=\cos x\) e \(v'=1\).
2. Aplique a regra do quociente: \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).
3. Substitua e organize o numerador.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}\)
Nível 4 — Consolidação
Os últimos exercícios misturam ideias e exigem mais autonomia do estudante.
Exercício 16
Nível 4Derive \(f(x)=(x^2+1)^4\).
Dica: Outra composição potência de binômio: cadeia novamente.
1. Derivada da externa: \(4(x^2+1)^3\).
2. Derivada da interna: \(2x\).
3. Multiplique e simplifique o coeficiente.
Solução final: \(f'(x)=8x(x^2+1)^3\)
Exercício 17
Nível 4Derive \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\).
Dica: Raiz de expressão pede reescrita e regra da cadeia.
1. Derive a externa: \(\frac12(1+x^2)^{-1/2}\).
2. Derive a interna: \(2x\).
3. Multiplique e simplifique.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
Exercício 18
Nível 4Derive \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x+1}\).
Dica: Atenção ao desenvolvimento algébrico do numerador do quociente.
1. \(u'=2x-3\) e \(v'=1\).
2. Escreva \(f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+1)}{(x+1)^2}\).
3. Expanda apenas o numerador e reduza os termos.
Solução final: \(f'(x)=\dfrac{x^2+2x-4}{(x+1)^2}\)
Exercício 19
Nível 4Derive \(f(x)=x^2\ln x\).
Dica: Produto entre polinômio e logaritmo.
1. \(u'=2x\) e \(v'=\dfrac1x\).
2. Use a regra do produto: \(u'v+uv'\).
3. Simplifique o segundo termo.
Solução final: \(f'(x)=2x\ln x+x\)
Exercício 20
Nível 4Derive \(f(x)=e^x\sin x\).
Dica: Produto de duas funções clássicas.
1. \(u'=e^x\) e \(v'=\cos x\).
2. Aplique a regra do produto: \(e^x\sin x+e^x\cos x\).
3. Coloque \(e^x\) em evidência.
Solução final: \(f'(x)=e^x(\sin x+\cos x)\)
Fechamento
Quando o estudante percebe qual estrutura algébrica está diante dele, a derivação deixa de ser um campo de medo e passa a ser um problema de leitura, escolha da regra e execução cuidadosa. Essa página foi organizada justamente para apoiar essa passagem: da insegurança para a autonomia.