1
Ler o texto com intenção
Não procurar fórmula pronta. Primeiro, identificar o que a situação está descrevendo.
📈 Do Texto à Função
Modelos Matemáticos com Funções de uma Variável Real
Um espaço digital para aprender, passo a passo, como transformar situações reais em funções matemáticas. Aqui o texto do problema vira grandezas, variáveis, relações, domínio, gráfico e interpretação.
16modelos contextualizados
6famílias de funções
TGFTexto → Grandezas → Função
1laboratório vivo
🧠 Método TGF — Texto, Grandezas e Função
Um roteiro simples para sair do enunciado e chegar ao modelo matemático com segurança.
2
Separar as grandezas
Listar preços, tempos, distâncias, volumes, áreas, taxas, quantidades e unidades.
3
Escolher a variável
Definir a grandeza que será controlada ou variada. Ela será a variável independente.
4
Determinar a dependência
Perceber qual grandeza muda em função da variável escolhida.
5
Traduzir o texto
Converter frases como “mais”, “por cada”, “excede”, “diminui”, “cresce” em operações matemáticas.
6
Escrever e interpretar
Apresentar a função final, o domínio contextual e o significado de cada termo.
Situação real→Texto→Grandezas→Variável→Relação→Função→Domínio→Interpretação
🧪 Laboratório vivo: monte a função
Escolha um contexto, altere os parâmetros e acompanhe a função, o valor atual, a tabela e o gráfico.
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Modelo
Tabela de valores
Gráfico aproximado — visualização didática
Este gráfico é ilustrativo e reescalado automaticamente. Para comparar valores com precisão, observe a função, o valor atual e a tabela.
📚 Biblioteca de modelos: do texto à função
Clique em cada modelo para acompanhar o nascimento da função, detalhe a detalhe.
Enunciado. Uma folha de papelão retangular mede 120 cm por 80 cm.
Recortam-se quadrados de lado \(x\) nos quatro cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa.
Modele a área da base e, como extensão, o volume.
Grandezas
- Comprimento original: \(120\) cm
- Largura original: \(80\) cm
- Recorte: \(x\) cm
Variável
\(x\) é o lado do quadrado recortado em cada canto.
Dimensões da base
Comprimento: \(120-2x\). Largura: \(80-2x\).
Relação
A área da base é o produto das novas dimensões; o volume é área da base vezes a altura \(x\).
Função modelo
\[
A(x)=(120-2x)(80-2x)=9600-400x+4x^2
\]
Extensão:
\[
V(x)=x(120-2x)(80-2x)
\]
Domínio adotado no laboratório. \(0\le x\le 30\). Em \(x=0\), não há recorte e a folha permanece \(120\text{ cm}\times80\text{ cm}\).
Interpretação. À medida que \(x\) aumenta, a altura cresce, mas comprimento e largura da base diminuem. Em \(x=30\), a base restante é \(60\text{ cm}\times20\text{ cm}\).
Enunciado. Uma corrida cobra taxa inicial de R$ 6,00 e mais R$ 2,40 por quilômetro rodado. Modele o custo \(C(x)\).
Grandezas
Taxa inicial, distância e custo total.
Variável
\(x\) representa a distância em quilômetros.
Relação
Custo total = parte fixa + parte variável.
Tradução
“Por quilômetro” indica multiplicação por \(x\).
Função modelo\[C(x)=6+2{,}40x\]
Domínio. \(x\ge0\).
Interpretação. O coeficiente angular é o custo de cada quilômetro.
Enunciado. Uma piscina começa com 8000 litros e recebe 600 litros por hora. Modele o volume após \(t\) horas.
Volume inicial
Há 8000 litros antes do enchimento.
Taxa
A cada hora entram 600 litros.
Variável
\(t\) é o tempo em horas.
Dependência
O volume depende do tempo decorrido.
Função modelo\[V(t)=8000+600t\]
Domínio contextual. \(t\ge0\), até a capacidade máxima da piscina.
Interpretação. A reta cresce porque a vazão é constante.
Enunciado. Até 150 estudantes, cada um paga R$ 15,00. Acima de 150, o preço individual reduz R$ 0,05 por estudante excedente. Modele a arrecadação bruta.
Até 150
Receita = preço fixo vezes quantidade.
Depois de 150
O preço unitário passa a depender de \(x\).
Excedente
\(x-150\) mede quantos estudantes passaram do limite.
Receita
Quantidade vezes preço individual.
Função modelo\[
R(x)=
\begin{cases}
15x, & 0\le x\le150\\
x[15-0{,}05(x-150)], & 150<x\le250
\end{cases}
\]
Domínio. \(0\le x\le250\), com \(x\) inteiro.
Interpretação. O próprio texto impõe duas regras diferentes.
Enunciado. Uma viagem tem 360 km. Modele o tempo \(T(v)\), em horas, em função da velocidade média \(v\), em km/h.
Distância fixa
A distância total não muda: 360 km.
Variável
\(v\) é a velocidade média.
Relação
Tempo = distância / velocidade.
Comportamento
Quanto maior \(v\), menor o tempo.
Função modelo\[T(v)=\frac{360}{v}\]
Domínio. \(v>0\).
Interpretação. É uma relação inversa: dobrar a velocidade reduz o tempo pela metade.
Enunciado. Um produto vendido por \(x\) reais tem demanda \(q(x)=200-4x\). O custo fixo é R$ 500 e o custo variável é R$ 10 por unidade. Modele o lucro.
Receita
Preço vezes quantidade: \(x(200-4x)\).
Custo
Custo total: \(500+10(200-4x)\).
Lucro
Lucro = receita − custo.
Natureza
A multiplicação por \(x\) gera termo quadrático.
Função modelo\[L(x)=x(200-4x)-[500+10(200-4x)]\]\[L(x)=-4x^2+240x-2500\]
Domínio contextual. \(0\le x\le50\), pois a demanda não pode ser negativa.
Interpretação. A parábola permite investigar o preço que maximiza o lucro.
Enunciado. A concentração inicial de um medicamento é 60 mg/L e diminui 18% por hora. Modele a concentração após \(t\) horas.
Valor inicial
No instante inicial, \(C(0)=60\).
Percentual restante
Se diminui 18%, permanece 82%: \(0{,}82\).
Variável
\(t\) é o número de horas.
Modelo
Multiplicações sucessivas geram potência.
Função modelo\[C(t)=60\cdot0{,}82^t\]
Domínio. \(t\ge0\).
Interpretação. A concentração se aproxima de zero sem ficar negativa.
Enunciado. Um café está a 90 °C. A temperatura ambiente é 25 °C. A diferença entre o café e o ambiente diminui 20% a cada 5 minutos. Modele a temperatura após \(t\) períodos de 5 minutos.
Diferença inicial
\(90-25=65\) °C.
Percentual restante
Diminui 20%, permanece 80%: \(0{,}80\).
Diferença após \(t\)
\(65\cdot0{,}80^t\).
Temperatura final
Ambiente + diferença restante.
Função modelo\[T(t)=25+65\cdot0{,}80^t\] Em minutos: \[T(m)=25+65\cdot0{,}80^{m/5}\]
Domínio. \(t\ge0\).
Interpretação. A temperatura se aproxima de 25 °C, criando uma assíntota horizontal.
Enunciado. Uma escada de 5 metros está apoiada em uma parede. A base está a \(x\) metros da parede. Modele a altura \(h(x)\).
Triângulo retângulo
Escada = hipotenusa de 5 m.
Catetos
Base: \(x\). Altura: \(h\).
Pitágoras
\(x^2+h^2=5^2\).
Isolando
A altura depende da raiz quadrada.
Função modelo\[h(x)=\sqrt{25-x^2}\]
Domínio. \(0\le x\le5\).
Interpretação. Quanto mais a base se afasta, menor a altura alcançada.
Enunciado. Com 100 m de cerca, deseja-se formar um retângulo. Se um lado mede \(x\), modele a área.
Perímetro
\(2x+2y=100\).
Isolando
\(y=50-x\).
Área
\(A=xy\).
Substituição
Trocar \(y\) por \(50-x\).
Função modelo\[A(x)=x(50-x)=50x-x^2\]
Domínio. \(0<x<50\).
Interpretação. A parábola mostra que existe uma área máxima.
Enunciado. Uma pessoa recebe salário fixo de R$ 1500,00 e comissão de 8% sobre as vendas \(x\). Modele a remuneração.
Parte fixa
R$ 1500,00 não depende das vendas.
Parte variável
8% de \(x\) é \(0{,}08x\).
Soma
Remuneração = fixo + comissão.
Variável
\(x\) representa o total vendido.
Função modelo\[S(x)=1500+0{,}08x\]
Domínio. \(x\ge0\).
Interpretação. A inclinação representa a taxa de comissão.
Enunciado. Até 100 kWh, cobra-se R$ 0,80 por kWh. Acima disso, cobra-se R$ 80,00 mais R$ 1,10 por kWh excedente. Modele o custo.
Primeira faixa
\(0{,}80x\).
Excedente
Acima de 100, o excedente é \(x-100\).
Valor acumulado
Os primeiros 100 kWh custam R$ 80,00.
Regra final
Duas faixas significam duas fórmulas.
Função modelo\[
C(x)=
\begin{cases}
0{,}80x, & 0\le x\le100\\
80+1{,}10(x-100), & x>100
\end{cases}
\]
Domínio. \(x\ge0\).
Interpretação. O texto tarifário vira uma função por partes.
Enunciado. Uma obra exige 240 homem-dias de trabalho. Modele o tempo \(T(n)\) em função do número \(n\) de trabalhadores.
Trabalho total
O total é constante: 240 homem-dias.
Variável
\(n\) é o número de trabalhadores.
Tempo
Tempo = trabalho total dividido pela equipe.
Relação inversa
Quando \(n\) aumenta, \(T\) diminui.
Função modelo\[T(n)=\frac{240}{n}\]
Domínio. \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge1\).
Interpretação. O domínio real exige número inteiro de trabalhadores.
Enunciado. Uma praça circular terá área \(A\). Modele o raio \(r(A)\).
Fórmula conhecida
Área do círculo: \(A=\pi r^2\).
Variável
A área \(A\) é a entrada.
Isolamento
Dividir por \(\pi\) e extrair raiz.
Modelo
O raio cresce com a raiz da área.
Função modelo\[r(A)=\sqrt{\frac{A}{\pi}}\]
Domínio. \(A\ge0\).
Interpretação. Dobrar a área não dobra o raio.
Enunciado. Uma cidade tem 50 mil habitantes e cresce 3% ao ano. Modele a população após \(t\) anos.
Valor inicial
\(P(0)=50000\).
Fator de crescimento
Crescer 3% significa multiplicar por \(1{,}03\).
Tempo
\(t\) é medido em anos.
Potência
Repetir o crescimento gera expoente.
Função modelo\[P(t)=50000\cdot1{,}03^t\]
Domínio. \(t\ge0\).
Interpretação. O crescimento é multiplicativo, não aditivo.
Enunciado. Uma bola é lançada de 1,5 m de altura com velocidade inicial de 20 m/s. Modele a altura \(h(t)\), considerando \(g\approx10\text{ m/s}^2\).
Altura inicial
\(1{,}5\) m.
Termo de velocidade
O movimento inicial contribui com \(20t\).
Gravidade
A queda entra como \(-5t^2\).
Modelo
A altura é uma função quadrática do tempo.
Função modelo\[h(t)=1{,}5+20t-5t^2\]
Domínio contextual. Do lançamento até tocar o chão.
Interpretação. A parábola abre para baixo porque a gravidade reduz a altura.
Enunciado. A temperatura em Fahrenheit é obtida multiplicando a temperatura Celsius por \(9/5\) e somando 32. Modele \(F(C)\).
Variável
\(C\) é a temperatura em graus Celsius.
Multiplicação
“Multiplicar por \(9/5\)” vira \(\frac{9}{5}C\).
Soma
“Somar 32” acrescenta o termo constante.
Modelo
É uma função afim.
Função modelo\[F(C)=\frac{9}{5}C+32\]
Domínio. Depende do contexto físico analisado.
Interpretação. A inclinação \(9/5\) indica a escala relativa entre as unidades.
Enunciado. Os pontos \(A\) e \(B\) estão em lados opostos de um rio reto com 3 km de largura. O ponto \(C\) está na mesma margem que \(B\), mas 2 km rio abaixo. Uma companhia deseja estender um cabo de \(A\) até \(C\). O custo por quilômetro sob a água é 25% maior que em terra. Vamos montar apenas o modelo matemático do custo total, sem resolver a otimização.
Estratégia de destravamento. Antes de escrever qualquer fórmula, faça um esboço. Neste problema, o desenho não é enfeite: ele revela a variável, separa o cabo em dois trechos e mostra onde entra o Teorema de Pitágoras.
Compreender a cena
O rio tem largura \(3\) km. O ponto \(B\) fica em frente a \(A\). O ponto \(C\) fica na mesma margem de \(B\), a \(2\) km rio abaixo.
Perceber os dois trechos
O cabo será pensado em duas partes: de \(A\) até \(P\), sob a água, e de \(P\) até \(C\), em terra.
Escolher o ponto variável
Escolhemos \(P\) entre \(B\) e \(C\). Esse é o ponto onde o cabo sai da água e passa a seguir por terra.
Definir a variável
Seja \(x=BP\). Como \(P\) está entre \(B\) e \(C\), temos \(0\le x\le 2\).
Levar o texto para o esboço
Agora o desenho organiza a leitura: \(BP=x\), \(PC=2-x\), e o trecho submerso \(AP\) aparece como a hipotenusa de um triângulo retângulo.
🧭 Esboço orientador da situação
\(x=BP\): distância variável escolhida.
\(PC=2-x\): trecho em terra.
\(AP=\sqrt{9+x^2}\): trecho sob a água.
Encontrar o trecho em terra
Como \(BC=2\) e \(BP=x\), sobra \(PC=2-x\).
Encontrar o trecho sob a água
O triângulo retângulo tem catetos \(3\) e \(x\). Assim, \(AP=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{9+x^2}\).
Traduzir os custos
Se \(k\) é o custo por km em terra, então o custo sob a água é \(25\%\) maior: \(1{,}25k=\frac54k\).
Somar as partes
Custo total = custo do trecho submerso + custo do trecho em terra.
Função modelo\[C(x)=\frac54k\sqrt{9+x^2}+k(2-x),\quad 0\le x\le 2\]
Domínio. \(0\le x\le 2\), pois \(P\) está entre \(B\) e \(C\).
Interpretação. Aqui não estamos derivando nem procurando mínimo. A meta é apenas construir a função que representa o custo total.
🌱 Ideia central do espaço
Todo modelo nasce de uma leitura cuidadosa do texto. Antes da fórmula, vêm as grandezas, a variável, a relação entre elas e o domínio que faz sentido no mundo real.