Prova Analítica (via Logaritmo)
Utilizamos a continuidade do logaritmo natural \((\ln)\) para determinar o limite \(L\):
Fazendo a substituição \(u = 1/x\), quando \(x \to \infty\), temos \(u \to 0\). Logo:
\[ \ln L = \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1 \]Conclusão: se \(\ln L = 1\), então pela definição de logaritmo:
\( L = e^1 \implies \mathbf{L = e} \)
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]
Por que \(\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1\)?
Fazemos a mudança de variável \(t = 1 + u\). Quando \(u \to 0\), temos necessariamente \(t \to 1\). Assim, o limite passa a ser:
Agora usamos uma desigualdade clássica do logaritmo, válida para \(t > 0\):
Quando \(t > 1\), dividimos por \(t-1\) e obtemos:
Fazendo \(t \to 1^+\), os extremos tendem a 1. Logo, pelo Teorema do Confronto,
De modo análogo, quando \(0 < t < 1\), a análise do limite lateral à esquerda também conduz ao mesmo resultado:
Como os dois limites laterais existem e são iguais, segue que:
Voltando à variável original \(t = 1+u\), concluímos que:
É justamente esse resultado que torna convincente a etapa final:
Simulador Interativo
Arraste o controle abaixo para aumentar o valor de \(x\) e observar a convergência para o número \(e \approx 2{,}71828\).