Gráfico A — $$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$$
Desafio: identifique as coordenadas exatas do ponto aberto.
Ideia-chave: obter $\frac{0}{0}$ por substituição direta não fornece o valor do limite. Essa forma indeterminada indica que numerador e denominador se aproximam de zero e que precisamos comparar seus comportamentos.
Como estudar: tente resolver cada item, identifique a forma obtida e só depois revele um passo por vez. O cancelamento de um fator é válido na vizinhança do ponto, onde $x\ne a$; no limite, $x$ se aproxima de $a$, sem precisar assumir o valor $a$.
1.1 — Indeterminação 0/0: Diferença de Quadrados
1) $$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$$
Passo 1: Substituindo $$x=2$$ obtemos $$\frac{0}{0}$$ (indeterminação).
Passo 2: Fatoramos o numerador como diferença de quadrados: $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2)$$
Passo 4: $$= 2+2 = \boxed{4}$$
2) $$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$$
Passo 1: Substituição direta gera $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)$$
Passo 4: $$= 3+3=\boxed{6}$$
3) $$\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2-25}{x-5}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$ ao substituir.
Passo 2: $$x^2-25=(x-5)(x+5)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 5}(x+5)$$
Passo 4: $$= \boxed{10}$$
4) $$\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to -1}(x-1)$$
Passo 4: $$= -1-1=\boxed{-2}$$
5) $$\lim_{x \to 4} \dfrac{x^2-16}{x-4}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^2-16=(x-4)(x+4)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 4}(x+4)$$
Passo 4: $$=\boxed{8}$$
1.2 — Indeterminação 0/0: Trinômio do Segundo Grau
6) $$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Raízes de $$x^2-3x+2$$: $$x=1$$ e $$x=2$$ $$\Rightarrow x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 2}\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\lim_{x \to 2}(x-1)$$
Passo 4: $$=2-1=\boxed{1}$$
7) $$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-5x+4}{x-1}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Raízes: $$x=1,\ x=4 \Rightarrow (x-1)(x-4)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 1}(x-4)$$
Passo 4: $$=1-4=\boxed{-3}$$
8) $$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-4x+3}{x-3}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Raízes: $$x=1,\ x=3 \Rightarrow (x-1)(x-3)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 3}(x-1)$$
Passo 4: $$=\boxed{2}$$
9) $$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2+x-2}{x+2}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Raízes: $$x=1,\ x=-2 \Rightarrow (x-1)(x+2)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to -2}(x-1)$$
Passo 4: $$=-2-1=\boxed{-3}$$
10) $$\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2-7x+10}{x-5}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Raízes: $$x=2,\ x=5 \Rightarrow (x-2)(x-5)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 5}(x-2)$$
Passo 4: $$=\boxed{3}$$
1.2.1 — Treinamento: coeficiente de \(x^2\) diferente de 1
Nos dois exemplos seguintes, o coeficiente do termo \(x^2\) não é 1. Observe como decompomos o termo central para fatorar por agrupamento.
Treinamento A) $$\lim_{x \to 2} \dfrac{2x^2-5x+2}{x-2}$$
Passo 1: Pela substituição direta: $$\frac{2(2)^2-5(2)+2}{2-2}=\frac{0}{0}.$$ Portanto, encontramos uma forma indeterminada.
Passo 2: Procuramos dois números cujo produto seja $$2\cdot2=4$$ e cuja soma seja $$-5$$: os números são $$-4$$ e $$-1.$$ Assim, $$2x^2-5x+2=2x^2-4x-x+2.$$
Passo 3: Fatorando por agrupamento: $$2x(x-2)-1(x-2)=(2x-1)(x-2).$$
Passo 4: Como no limite $$x\ne2,$$ cancelamos o fator comum: $$\lim_{x\to2}\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(2x-1).$$
Conclusão: $$2(2)-1=\boxed{3}.$$
Treinamento B) $$\lim_{x \to 3} \dfrac{3x^2-11x+6}{x-3}$$
Passo 1: Pela substituição direta: $$\frac{3(3)^2-11(3)+6}{3-3}=\frac{0}{0}.$$ Novamente, obtemos uma forma indeterminada.
Passo 2: Procuramos dois números cujo produto seja $$3\cdot6=18$$ e cuja soma seja $$-11$$: os números são $$-9$$ e $$-2.$$ Logo, $$3x^2-11x+6=3x^2-9x-2x+6.$$
Passo 3: Fatorando por agrupamento: $$3x(x-3)-2(x-3)=(3x-2)(x-3).$$
Passo 4: Como no limite $$x\ne3,$$ cancelamos o fator comum: $$\lim_{x\to3}\frac{(3x-2)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(3x-2).$$
Conclusão: $$3(3)-2=\boxed{7}.$$
1.3 — Funções Racionais: Quadrados e Cubos Combinados
11) $$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-8}{x^2-4}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Diferença de cubos: $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$; diferença de quadrados: $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x \to 2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}$$
Passo 4: $$=\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=\boxed{3}$$
12) $$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^2-1}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$; $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1}$$
Passo 4: $$=\frac{1+1+1}{2}=\boxed{\frac{3}{2}}$$
13) $$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^3+8}{x^2-4}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: Soma de cubos: $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$; $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to -2}\frac{x^2-2x+4}{x-2}$$
Passo 4: $$=\frac{4+4+4}{-4}=\frac{12}{-4}=\boxed{-3}$$
14) $$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^3-27}{x^2-9}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$$; $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 3}\frac{x^2+3x+9}{x+3}$$
Passo 4: $$=\frac{9+9+9}{6}=\frac{27}{6}=\boxed{\frac{9}{2}}$$
15) $$\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3+1}{x^2-1}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$.
Passo 2: $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$; $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Passo 3: $$\lim_{x \to -1}\frac{x^2-x+1}{x-1}$$
Passo 4: $$=\frac{1+1+1}{-2}=\boxed{-\frac{3}{2}}$$
1.3.1 — Treinamento: diferença de cubos com coeficiente diferente de 1
Agora o primeiro termo também precisa ser reconhecido como um cubo perfeito. Recorde: $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
Treinamento C) $$\lim_{x \to \frac12}\dfrac{8x^3-1}{2x-1}$$
Passo 1: Pela substituição direta: $$\frac{8\left(\frac12\right)^3-1}{2\left(\frac12\right)-1}=\frac{0}{0}.$$ Portanto, encontramos uma forma indeterminada.
Passo 2: Reconhecemos os cubos: $$8x^3=(2x)^3 \quad\text{e}\quad 1=1^3.$$ Assim, $$8x^3-1=(2x)^3-1^3.$$
Passo 3: Aplicando a diferença de cubos: $$(2x)^3-1^3=(2x-1)(4x^2+2x+1).$$
Passo 4: Para $$x\ne\frac12,$$ cancelamos o fator comum: $$\lim_{x\to\frac12}\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{2x-1}=\lim_{x\to\frac12}(4x^2+2x+1).$$
Conclusão: $$4\left(\frac12\right)^2+2\left(\frac12\right)+1=1+1+1=\boxed{3}.$$
Treinamento D) $$\lim_{x \to \frac23}\dfrac{27x^3-8}{3x-2}$$
Passo 1: Pela substituição direta: $$\frac{27\left(\frac23\right)^3-8}{3\left(\frac23\right)-2}=\frac{0}{0}.$$ Temos novamente uma forma indeterminada.
Passo 2: Reconhecemos os cubos: $$27x^3=(3x)^3 \quad\text{e}\quad 8=2^3.$$ Logo, $$27x^3-8=(3x)^3-2^3.$$
Passo 3: Aplicando a diferença de cubos: $$(3x)^3-2^3=(3x-2)(9x^2+6x+4).$$
Passo 4: Para $$x\ne\frac23,$$ cancelamos o fator comum: $$\lim_{x\to\frac23}\frac{(3x-2)(9x^2+6x+4)}{3x-2}=\lim_{x\to\frac23}(9x^2+6x+4).$$
Conclusão: $$9\left(\frac23\right)^2+6\left(\frac23\right)+4=4+4+4=\boxed{12}.$$
2 — Limites no Infinito com Estudo de Módulo
16) $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$
Passo 1: Colocamos $$x^2$$ em evidência sob a raiz: $$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$$
Passo 2: Como $$x \to +\infty$$, então $$|x|=x$$: $$\frac{|x|\sqrt{1+1/x^2}}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$$
Passo 3: $$\lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = \sqrt{1+0}=\boxed{1}$$
17) $$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$
Passo 1: $$\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}$$
Passo 2: Como $$x \to -\infty$$, temos $$|x|=-x$$: $$\frac{-x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$$
Passo 3: $$\lim_{x \to -\infty}\left(-\sqrt{1+1/x^2}\right)=-1$$
Conclusão: $$\boxed{-1}$$
18) $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}}$$
Passo 1: $$\sqrt{x^2+x}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}$$, com $$|x|=x$$ para $$x \to +\infty$$
Passo 2: $$\frac{x}{x\sqrt{1+1/x}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}}$$
Passo 3: $$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+1/x}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\boxed{1}$$
19) $$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2+3}}{2x+1}$$
Passo 1: $$\sqrt{4x^2+3}=\sqrt{4x^2\left(1+\frac{3}{4x^2}\right)}=2|x|\sqrt{1+\frac{3}{4x^2}}$$
Passo 2: Como $$x \to -\infty$$, $$|x|=-x$$: numerador $$=-2x\sqrt{1+3/(4x^2)}$$
Passo 3: Dividindo tudo por $$x$$: $$\frac{-2\sqrt{1+3/(4x^2)}}{2+1/x}$$
Passo 4: $$\to \frac{-2\sqrt{1}}{2}=\boxed{-1}$$
20) $$\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$$
Passo 1: Racionalizamos multiplicando pelo conjugado: $$\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$
Passo 2: Fatorando $$x$$ (com $$x>0 \Rightarrow |x|=x$$): $$\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+1/x}$$, logo $$\frac{x}{x\sqrt{1+1/x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}$$
Passo 3: $$\to \frac{1}{\sqrt{1}+1}=\boxed{\frac{1}{2}}$$
3 — Limites Laterais
21) $$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|}$$
Passo 1: Para $$x \to 0^+$$, temos $$x>0 \Rightarrow |x|=x$$
Passo 2: $$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 0^+}\frac{x}{|x|}=\boxed{1}$$
22) $$\lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|}$$
Passo 1: Para $$x \to 0^-$$, $$x<0 \Rightarrow |x|=-x$$
Passo 2: $$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1$$
Passo 3: $$\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|}=\boxed{-1}$$
Conclusão: Como os limites laterais diferem ($$1 \neq -1$$), o limite $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}$$ não existe.
23) Dada $$f(x)=\begin{cases}x+1, & x<2 \\ x^2-1, & x \geq 2\end{cases}$$, calcule $$\lim_{x \to 2^-}f(x)$$ e $$\lim_{x \to 2^+}f(x)$$
Passo 1 (esquerda): Para $$x<2$$ usamos $$f(x)=x+1$$: $$\lim_{x \to 2^-}(x+1)=2+1=3$$
Passo 2 (direita): Para $$x \geq 2$$ usamos $$f(x)=x^2-1$$: $$\lim_{x \to 2^+}(x^2-1)=4-1=3$$
Conclusão: Como $$\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=3$$, segue que $$\lim_{x \to 2}f(x)=\boxed{3}$$ (limite existe).
24) $$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{|x-1|}{x-1}$$ e $$\lim_{x \to 1^-} \dfrac{|x-1|}{x-1}$$
Passo 1 (direita): Se $$x>1$$, então $$x-1>0 \Rightarrow |x-1|=x-1$$, logo $$\frac{|x-1|}{x-1}=1$$
Passo 2 (esquerda): Se $$x<1$$, então $$x-1<0 \Rightarrow |x-1|=-(x-1)$$, logo $$\frac{|x-1|}{x-1}=-1$$
Conclusão: $$\lim_{x\to1^+}=\boxed{1}$$, $$\lim_{x\to1^-}=\boxed{-1}$$. O limite bilateral não existe.
25) Dada $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2 \\ 5, & x=2\end{cases}$$, calcule $$\lim_{x \to 2^-}f(x)$$, $$\lim_{x \to 2^+}f(x)$$ e $$f(2)$$
Passo 1: Para $$x \neq 2$$: $$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$
Passo 2 (esquerda): $$\lim_{x \to 2^-}(x+2)=4$$
Passo 3 (direita): $$\lim_{x \to 2^+}(x+2)=4$$
Conclusão: $$\lim_{x \to 2}f(x)=\boxed{4}$$, mas $$f(2)=5$$. Logo, o limite existe mas diverge do valor da função — exemplo clássico de descontinuidade removível.
📈 Visualização gráfica dos limites
Use zoom, arraste os eixos e passe o cursor sobre as curvas. Os círculos vazios representam pontos não definidos; o comportamento da curva ao redor deles revela o limite.
Gráfico B — $$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$$
Compare a expressão original com a função simplificada.
Gráfico C — $$f(x)=\dfrac{x^3-8}{x^2-4}$$
Atenção: há um buraco em $x=2$ e uma assíntota vertical em $x=-2$.
Gráfico D — $$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$
Observe as assíntotas horizontais distintas: $y=1$ e $y=-1$.
Gráfico E — $$f(x)=\dfrac{x}{|x|}$$
A função salto explica visualmente por que o limite bilateral não existe.
📝 Quiz de autoavaliação
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Pontuação: 0/5 · Respondidas: 0/5
Q1) $$\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$$ é igual a:
Resolução: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\longrightarrow 6.$$
Q2) Sobre $$\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{|x|}$$, podemos afirmar que:
Resolução: o limite pela direita é $1$ e pela esquerda é $-1$. Como são diferentes, o limite bilateral não existe.
Q3) Para calcular $$\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x},$$ devemos usar:
Resolução: quando $x\to-\infty$, temos $|x|=-x$; portanto, o limite vale $-1$.
Q4) Digite o valor de $$\lim_{x \to 2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}.$$
Resolução: cancelando o fator $(x-2)$, obtemos $\frac{x^2+2x+4}{x+2}\to\frac{12}{4}=3$.
Q5) A função $$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2},\ x\ne2,\qquad f(2)=5$$ é:
Resolução: o limite existe e vale $4$, mas $f(2)=5$. A descontinuidade é removível.