Gráfico A — limite trigonométrico fundamental $$f(x)=\frac{\sin x}{x}$$
Antes de calcular: identifique a forma encontrada por substituição direta e escolha a estratégia: conjugado para radicais, limite fundamental para expressões trigonométricas ou exponenciais, e confronto quando uma função oscilante estiver presa entre duas funções de mesmo limite.
Resolva cada questão antes de liberar um passo por vez. Os itens com selo roxo são aprofundamentos e podem ser deixados para depois.
← Voltar ao laboratório inicial4.1 — Indeterminações com Radicais
Começamos retomando a racionalização, técnica algébrica já utilizada no módulo anterior.
26) $$\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$
Passo 1: $$\frac{0}{0}$$ ao substituir. Multiplicamos pelo conjugado $$(\sqrt{x}+2)$$: $$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$
Passo 2: Cancelamos $$(x-4)$$: $$\lim_{x \to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$
Passo 3: $$=\frac{1}{2+2}=\boxed{\frac{1}{4}}$$
27) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$
Passo 1: Multiplicamos pelo conjugado: $$\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$
Passo 2: $$\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$
Passo 3: $$=\frac{1}{1+1}=\boxed{\frac{1}{2}}$$
28) $$\lim_{x \to 9} \dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}$$
Passo 1: Multiplicamos numerador e denominador por $$(\sqrt{x}+3)$$: $$\frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}$$
Passo 2: Cancelamos: $$\lim_{x \to 9}(\sqrt{x}+3)$$
Passo 3: $$=3+3=\boxed{6}$$
29) $$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)$$
Passo 1: Indeterminação $$\infty-\infty$$. Multiplicamos pelo conjugado: $$\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$$
Passo 2: $$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$$
Passo 3: Denominador $$\to\infty$$, logo o limite $$\to\boxed{0}$$
30) $$\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$$, $$a>0$$ (caso geral)
Passo 1: Multiplicamos pelo conjugado: $$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}$$
Passo 2: $$\lim_{x \to a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$$
Passo 3: $$=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{a}}}$$ (fórmula geral, base da derivada de $$\sqrt{x}$$)
4.2 — Limites Trigonométricos Fundamentais
Nos limites trigonométricos fundamentais, os ângulos devem ser medidos em radianos.
31) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$$
Passo 1: Este é o Limite Trigonométrico Fundamental, provado geometricamente via Teorema do Confronto (comparando áreas de triângulos e setor circular).
Passo 2: Resultado fundamental: $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\boxed{1}$$
32) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}$$
Passo 1: Multiplicamos e dividimos por 5 para ajustar ao limite fundamental: $$\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}$$
Passo 2: Fazendo $$u=5x$$, quando $$x\to0 \Rightarrow u\to0$$: $$5\cdot\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=5\cdot1$$
Passo 3: $$=\boxed{5}$$
33) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{\sin(4x)}$$
Passo 1: Multiplicamos numerador e denominador para criar os limites fundamentais: $$\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}=\frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac{4x}{\sin(4x)}\cdot\frac{3x}{4x}$$
Passo 2: Cada fração trigonométrica tende a 1: $$1\cdot1\cdot\frac{3}{4}$$
Passo 3: $$=\boxed{\frac{3}{4}}$$
34) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x}$$
Passo 1: Multiplicamos pelo conjugado $$(1+\cos x)$$: $$\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}=\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}$$
Passo 2: Usando $$1-\cos^2x=\sin^2x$$: $$\frac{\sin^2x}{x(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}$$
Passo 3: $$\to 1\cdot\frac{0}{2}=\boxed{0}$$
35) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$$
Passo 1: Mesma técnica: $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}$$
Passo 2: $$\to 1^2\cdot\frac{1}{2}$$
Passo 3: $$=\boxed{\frac{1}{2}}$$
36) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$$
Passo 1: Reescrevemos $$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$: $$\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$$
Passo 2: $$\to 1\cdot\frac{1}{\cos 0}=1\cdot\frac{1}{1}$$
Passo 3: $$=\boxed{1}$$
37) $$\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{x-\pi/2}$$
Passo 1: Substituição $$u=x-\pi/2 \Rightarrow x=u+\pi/2$$, com $$u\to0$$
Passo 2: $$\cos(u+\pi/2)=-\sin u$$ (identidade trigonométrica)
Passo 3: $$\lim_{u\to0}\frac{-\sin u}{u}=-1$$
Conclusão: $$=\boxed{-1}$$
4.3 — Limites Exponenciais e Logarítmicos
38) $$\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$$
Passo 1: Esta é a definição do número de Euler $$e$$, obtida como limite fundamental exponencial.
Passo 2: $$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828$$
Conclusão: $$=\boxed{e}$$
39) $$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}$$
Passo 1: Fazemos a substituição $$u=1/x$$, então $$x=1/u$$, para o limite pela direita, $x\to0^+ \Rightarrow u\to+\infty$
Passo 2: $$(1+x)^{1/x}=\left(1+\frac{1}{u}\right)^u$$
Passo 3: É o limite fundamental: $$\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^u=e$$
Passo 4: Pela esquerda, tome $v=-1/x\to+\infty$. Assim, $(1+x)^{1/x}=\left(1-\frac1v\right)^{-v}=\left(1+\frac1{v-1}\right)^v\to e.$
Conclusão: Os dois limites laterais são iguais: $\boxed{e}$
40) $$\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$$
Passo 1: Fazemos $$u=x/2 \Rightarrow x=2u$$, com $$x\to\infty \Rightarrow u\to\infty$$
Passo 2: $$\left(1+\frac{1}{u}\right)^{2u}=\left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\right]^2$$
Passo 3: $$\to e^2$$
Conclusão: $$=\boxed{e^2}$$
41) $$\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{3x}$$
Passo 1: Reescrevemos: $$\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$$, então a expressão é $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}$$
Passo 2: $$=\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^3 \to e^3$$
Conclusão: $$=\boxed{e^3}$$
42) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}$$
Passo 1: Este é outro limite fundamental, que será utilizado posteriormente para obter a derivada da função exponencial.
Passo 2: $$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=\boxed{1}$$
43) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{x}$$
Passo 1: Fazemos $$u=3x$$, com $$x\to0 \Rightarrow u\to0$$: $$\frac{e^{3x}-1}{x}=3\cdot\frac{e^{u}-1}{u}$$
Passo 2: $$\to 3\cdot1$$
Conclusão: $$=\boxed{3}$$
44) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}$$
Passo 1: Também um limite fundamental, que será utilizado posteriormente para obter a derivada de $\ln x$.
Passo 2: $$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\boxed{1}$$
45) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{a^x-1}{x}$$, com $$a>0, a\neq1$$ (caso geral)
Passo 1: Escrevemos $$a^x=e^{x\ln a}$$, então $$\frac{a^x-1}{x}=\frac{e^{x\ln a}-1}{x}$$
Passo 2: Multiplicando e dividindo por $$\ln a$$: $$\ln a\cdot\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\to \ln a\cdot1$$
Conclusão: $$=\boxed{\ln a}$$ (generalização do Exercício 42, onde $$a=e \Rightarrow \ln e=1$$)
4.4 — Teorema do Confronto
46) $$\lim_{x \to 0} x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$$
Passo 1: Sabemos que $$-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$$ para todo $$x\neq0$$
Passo 2: Multiplicando por $$x^2\geq0$$: $$-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$$
Passo 3: Como $$\lim_{x\to0}(-x^2)=0$$ e $$\lim_{x\to0}x^2=0$$, pelo Teorema do Confronto:
Conclusão: $$\lim_{x\to0}x^2\sin(1/x)=\boxed{0}$$
47) $$\lim_{x \to 0} x^4\cos\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$$
Passo 1: $$-1\leq\cos(1/x^2)\leq1$$, logo $$-x^4\leq x^4\cos(1/x^2)\leq x^4$$
Passo 2: Ambos os limites laterais $$\to0$$ quando $$x\to0$$
Conclusão: Pelo Confronto, $$=\boxed{0}$$
4.5 — Outras Formas Indeterminadas
O exercício 49 antecipa a Regra de L’Hôpital e está identificado como aprofundamento.
48) $$\lim_{x \to \infty} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$$ (indeterminação $$\infty\cdot0$$)
Passo 1: Fazemos $$u=1/x$$, com $$x\to\infty \Rightarrow u\to0$$: $$x\sin(1/x)=\frac{\sin u}{u}$$
Passo 2: $$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$$
Conclusão: $$=\boxed{1}$$
49) $$\lim_{x \to 0^+} x\ln x$$ (indeterminação $0\cdot\infty$) — Antecipação de L’Hôpital
Passo 1: Reescrevemos como quociente: $$x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}$$, forma $$\infty/\infty$$ (a ser estudada formalmente com a Regra de L’Hôpital).
Passo 2: Aplicando L'Hôpital: $$\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)$$
Conclusão: $$=\boxed{0}$$
50) $$\lim_{x \to \infty}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x$$ (indeterminação $$1^\infty$$)
Passo 1: Reescrevemos: $$\frac{x-1}{x+1}=1+\frac{-2}{x+1}$$
Passo 2: $$\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{x}=\left[\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{\frac{x+1}{-2}}\right]^{\frac{-2x}{x+1}}$$
Passo 3: A base tende a $$e$$; o expoente $$\dfrac{-2x}{x+1}\to-2$$
Conclusão: $$=\boxed{e^{-2}}$$
51) $$\lim_{x \to \infty}\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$$ (indeterminação $$\infty-\infty$$)
Passo 1: Multiplicamos pelo conjugado: $$\frac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$$
Passo 2: Denominador $$\to\infty$$
Conclusão: $$=\boxed{0}$$
52) $$\lim_{x \to 0^+} x^x$$ (indeterminação $$0^0$$)
Passo 1: Escrevemos $$x^x=e^{x\ln x}$$
Passo 2: Já vimos (Exercício 49) que $$\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$$
Passo 3: $$\lim_{x\to0^+}e^{x\ln x}=e^0$$
Conclusão: $$=\boxed{1}$$ (resultado contraintuitivo — reforça por que $$0^0$$ é indeterminado!)
4.6 — Continuidade e Assíntotas via Limites
53) Determine a assíntota vertical de $$f(x)=\dfrac{1}{x-3}$$ analisando os limites laterais $$\lim_{x \to 3^+}f(x)$$ e $$\lim_{x \to 3^-}f(x).$$
Passo 1 (direita): Para $$x\to3^+,$$ temos $$x-3\to0^+$$ (valores pequenos e positivos). Portanto, $$\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty.$$
Passo 2 (esquerda): Para $$x\to3^-,$$ temos $$x-3\to0^-$$ (valores pequenos e negativos). Portanto, $$\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty.$$
Conclusão: A reta $$\boxed{x=3}$$ é assíntota vertical, com comportamento divergente em direções opostas (característico de polos simples).
54) Verifique se $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x<1 \\ 2x-1, & x\geq1\end{cases}$$ é contínua em $$x=1$$
Passo 1: $$\lim_{x\to1^-}x^2=1$$
Passo 2: $$\lim_{x\to1^+}(2x-1)=2-1=1$$
Passo 3: $$f(1)=2(1)-1=1$$
Conclusão: Como os três valores coincidem, $$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=1,$$ a função é contínua em $$x=1.$$ $$\boxed{\text{Contínua}}$$
4.7 — Desafio Avançado
Este exercício pode ser realizado depois do estudo de L’Hôpital ou da série de Taylor.
55) $$\lim_{x \to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3}$$ — Desafio avançado
Passo 1: Este desafio antecipa uma técnica que será estudada posteriormente. A indeterminação $$0/0$$ não se resolve apenas com o limite fundamental; usamos a expansão de Taylor (ou L'Hôpital, visto mais adiante): $$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$
Passo 2: $$x-\sin x = \frac{x^3}{6}+O(x^5)$$
Passo 3: $$\frac{x-\sin x}{x^3}\to\frac{1}{6}$$
Conclusão: $$=\boxed{\frac{1}{6}}$$ (resultado importante, revisitado com L'Hôpital no Cálculo I)
📈 Exploração gráfica
Use o zoom e o cursor para relacionar cada comportamento gráfico ao limite correspondente.
Gráfico B — oscilação controlada $$f(x)=x^2\sin(1/x)$$
Gráfico C — assíntota vertical $$f(x)=\frac1{x-3}$$
Gráfico D — continuidade por partes
📝 Quiz de fechamento
Digite a resposta de cada limite. Aceitam-se números ou as constantes indicadas.
Acertos: 0/5 · Respondidas: 0/5
Q1) $$\lim_{x\to0}\sin(5x)/x$$
Q2) $$\lim_{x\to4}(\sqrt{x}-2)/(x-4)$$
Q3) $$\lim_{x\to\infty}(1+2/x)^x$$
Q4) $$\lim_{x\to0}x^2\sin(1/x)$$
Q5) Assíntota vertical de $$1/(x-3)$$