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Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. Em Integrais Impróprias, o mais importante não é apenas calcular a primitiva, mas reconhecer onde está a impropriedade e substituir o problema por um limite bem organizado.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, escreva três perguntas no caderno:
qual é o motivo da impropriedade?, qual limite substitui a integral? e
o limite final é finito ou não?
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Use conferência rápida para abrir as respostas completas ou passo a passo para revelar uma etapa por vez, treinando o raciocínio de convergência.
\[
\int_a^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx,
\qquad
\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx
\]
Bloco 1 — Reconhecimento da impropriedade
Nesta primeira etapa, o foco é classificar a integral e justificar se ela é própria ou imprópria.
Reconhecimento 1. Classifique \(\displaystyle\int_2^5 \frac{1}{x}\,dx\)
Observamos o intervalo de integração: ele vai de \(2\) até \(5\), portanto é fechado e finito.
Agora verificamos o integrando \(f(x)=\frac{1}{x}\). Ele só apresenta problema em \(x=0\).
Como \(0\) não pertence ao intervalo \([2,5]\), a função é contínua em todo o intervalo de integração.
Logo, não há extremo infinito e não há descontinuidade infinita dentro do intervalo.
Portanto, a integral é uma integral definida comum, isto é, uma integral própria.
\[
\int_2^5\frac{1}{x}\,dx
\quad \text{é própria.}
\]
✅ Integral própria
Reconhecimento 2. Classifique \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}\,dx\)
O integrando \(\frac{1}{x^3}\) é contínuo para \(x\geq 1\).
O problema não está no integrando dentro do intervalo; o problema está no limite superior \(+\infty\).
Sempre que uma integral tem extremo de integração infinito, ela é imprópria.
A forma correta de estudá-la é substituir o infinito por uma variável \(b\) e depois tomar o limite quando \(b\to+\infty\).
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}\,dx
=\lim_{b\to+\infty}\int_1^b\frac{1}{x^3}\,dx.
\]
✅ Integral imprópria por intervalo infinito
Bloco 2 — Intervalos infinitos
Agora calculamos integrais cujo intervalo se estende até o infinito.
Intervalo infinito 3. Calcule \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^4}\,dx\), se convergir
A integral é imprópria porque o limite superior é \(+\infty\).
Substituímos o infinito por \(b\): \(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^4}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-4}\,dx\).
Calculamos a primitiva: \(\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3x^3}\).
Aplicando os limites de \(1\) até \(b\): \(\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_1^b=-\frac{1}{3b^3}+\frac{1}{3}\).
Agora tomamos o limite: \(\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{3b^3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\).
Como o limite existe e é finito, a integral converge.
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^4}\,dx=\frac{1}{3}.
\]
✅ Converge para \(\frac{1}{3}\)
Intervalo infinito 4. Verifique \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)
Escrevemos \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\).
A integral é imprópria porque o intervalo vai até \(+\infty\).
Transformamos em limite: \(\int_1^{+\infty}x^{-1/2}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-1/2}\,dx\).
Calculamos a primitiva: \(\int x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x}\).
Aplicando os limites: \([2\sqrt{x}]_1^b=2\sqrt{b}-2\).
Quando \(b\to+\infty\), temos \(2\sqrt{b}-2\to+\infty\).
Como o limite não é finito, a integral diverge.
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
=+\infty.
\]
⚠️ Diverge
Bloco 3 — Descontinuidades infinitas
Aqui a impropriedade aparece porque a função explode em uma extremidade do intervalo.
Descontinuidade 5. Calcule \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)
O intervalo \([0,1]\) é finito, mas o integrando \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) não está definido em \(x=0\).
Como a descontinuidade ocorre na extremidade esquerda, aproximamos \(0\) pela direita usando \(t\to0^+\).
Escrevemos: \(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int_t^1 x^{-1/2}\,dx\).
A primitiva é \(2\sqrt{x}\).
Aplicando de \(t\) até \(1\): \([2\sqrt{x}]_t^1=2-2\sqrt{t}\).
Tomando o limite: \(\lim_{t\to0^+}(2-2\sqrt{t})=2\).
O limite é finito. Portanto, apesar da função explodir em \(0\), a integral converge.
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2.
\]
✅ Converge para \(2\)
Descontinuidade 6. Verifique \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx\)
O integrando \(\frac{1}{x^2}\) apresenta descontinuidade infinita em \(x=0\).
Como o problema está na extremidade esquerda, escrevemos \(\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int_t^1 x^{-2}\,dx\).
A primitiva é \(\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac{1}{x}\).
Aplicando os limites: \(\left[-\frac{1}{x}\right]_t^1=-1+\frac{1}{t}\).
Quando \(t\to0^+\), \(\frac{1}{t}\to+\infty\).
Logo, \(-1+\frac{1}{t}\to+\infty\).
Como o limite não é finito, a integral diverge.
\[
\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx
=+\infty.
\]
⚠️ Diverge
Bloco 4 — Exponenciais e critério do parâmetro \(p\)
Este bloco conecta cálculo direto com critérios de convergência muito usados em matemática aplicada.
Exponencial 7. Calcule \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx\)
A integral é imprópria porque o limite superior é \(+\infty\).
Escrevemos \(\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_0^b e^{-2x}\,dx\).
A primitiva é \(\int e^{-2x}\,dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}\).
Aplicando os limites: \(\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^b=-\frac{1}{2}e^{-2b}+\frac{1}{2}\).
Como \(e^{-2b}\to0\) quando \(b\to+\infty\), o limite é \(\frac{1}{2}\).
Portanto, a integral converge.
\[
\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx=\frac{1}{2}.
\]
✅ Converge para \(\frac{1}{2}\)
Exponencial 8. Calcule \(\displaystyle\int_0^{+\infty}5e^{-0,5t}\,dt\)
A variável agora é \(t\), mas o raciocínio é o mesmo: o intervalo vai de \(0\) até \(+\infty\).
Escrevemos: \(\int_0^{+\infty}5e^{-0,5t}\,dt=\lim_{b\to+\infty}\int_0^b5e^{-0,5t}\,dt\).
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), temos \(\int5e^{-0,5t}\,dt=5\cdot\left(-2e^{-0,5t}\right)=-10e^{-0,5t}\).
Aplicando de \(0\) até \(b\): \([-10e^{-0,5t}]_0^b=-10e^{-0,5b}+10\).
Quando \(b\to+\infty\), \(e^{-0,5b}\to0\).
Logo, o valor da integral é \(10\).
\[
\int_0^{+\infty}5e^{-0,5t}\,dt=10.
\]
✅ Converge para \(10\)
Critério p 9. Valores de \(p\) para \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx\)
Consideramos a integral \(\int_1^{+\infty}x^{-p}\,dx\).
Para \(p\neq1\), a primitiva é \(\frac{x^{1-p}}{1-p}\).
Transformamos em limite: \(\lim_{b\to+\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b\).
O comportamento depende do expoente \(1-p\).
Se \(p>1\), então \(1-p<0\), e \(b^{1-p}\to0\). O limite é finito.
Se \(p<1\), então \(1-p>0\), e \(b^{1-p}\to+\infty\). A integral diverge.
O caso \(p=1\) precisa ser tratado separadamente: \(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\ln b=+\infty\), portanto diverge.
Conclusão: no intervalo \([1,+\infty)\), a integral \(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx\) converge exatamente quando \(p>1\).
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx
\text{ converge } \Longleftrightarrow p>1.
\]
✅ Converge para \(p>1\)
Critério p 10. Valores de \(p\) para \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx\)
Agora o problema está perto de \(0\), pois \(\frac{1}{x^p}\) pode explodir quando \(x\to0^+\).
Para \(p\neq1\), escrevemos \(\int_0^1x^{-p}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int_t^1x^{-p}\,dx\).
A primitiva é \(\frac{x^{1-p}}{1-p}\).
Aplicando de \(t\) até \(1\), obtemos \(\frac{1}{1-p}-\frac{t^{1-p}}{1-p}\).
Se \(p<1\), então \(1-p>0\), e \(t^{1-p}\to0\). O limite é finito.
Se \(p>1\), então \(1-p<0\), e \(t^{1-p}=\frac{1}{t^{p-1}}\to+\infty\). A integral diverge.
No caso \(p=1\), temos \(\int_0^1\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to0^+}[\ln x]_t^1=-\lim_{t\to0^+}\ln t=+\infty\), logo diverge.
Conclusão: perto de \(0\), a integral \(\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx\) converge exatamente quando \(p<1\).
\[
\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx
\text{ converge } \Longleftrightarrow p<1.
\]
✅ Converge para \(p<1\)
Bloco 5 — Aplicações contextualizadas
Fechamos a trilha interpretando integrais impróprias em modelos aplicados.
Probabilidade 11. Por que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1\), com \(\lambda>0\)?
A função \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), com \(\lambda>0\), é típica de uma distribuição exponencial em probabilidade.
Para ser uma densidade de probabilidade, a área total sob a curva deve ser igual a \(1\).
Como o intervalo vai até \(+\infty\), usamos uma integral imprópria: \(\int_0^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_0^b\lambda e^{-\lambda x}\,dx\).
A primitiva é \(\int\lambda e^{-\lambda x}\,dx=-e^{-\lambda x}\).
Aplicando os limites: \([-e^{-\lambda x}]_0^b=-e^{-\lambda b}+1\).
Como \(\lambda>0\), temos \(e^{-\lambda b}\to0\) quando \(b\to+\infty\).
Portanto, o limite é \(1\). Isso significa que toda a probabilidade acumulada no intervalo \([0,+\infty)\) é igual a \(100\%\).
\[
\int_0^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1,
\qquad \lambda>0.
\]
✅ Área total de uma densidade de probabilidade
Economia 12. Interprete \(\displaystyle VP=\int_0^{+\infty}Ce^{-rt}\,dt\)
A expressão representa o valor presente de um fluxo contínuo constante \(C\), descontado continuamente à taxa \(r\).
O fator \(e^{-rt}\) reduz o peso dos recebimentos mais distantes no tempo.
Para que a integral faça sentido em horizonte infinito, assumimos \(C>0\) e \(r>0\).
Calculamos: \(VP=\lim_{b\to+\infty}\int_0^b Ce^{-rt}\,dt\).
A primitiva é \(\int Ce^{-rt}\,dt=-\frac{C}{r}e^{-rt}\).
Aplicando os limites: \(\left[-\frac{C}{r}e^{-rt}\right]_0^b=-\frac{C}{r}e^{-rb}+\frac{C}{r}\).
Como \(r>0\), \(e^{-rb}\to0\) quando \(b\to+\infty\).
Logo, \(VP=\frac{C}{r}\). A interpretação é: um fluxo contínuo perpétuo, quando descontado por uma taxa positiva, pode ter valor presente finito.
\[
VP=\int_0^{+\infty}Ce^{-rt}\,dt=\frac{C}{r},
\qquad C>0,\ r>0.
\]
✅ Valor presente finito de fluxo contínuo perpétuo