Professor CHAGAS, JC — Cálculo no Cotidiano

Exercícios de Fixação — Continuidade, Secantes e Tangentes

Uma página exclusiva de treino para consolidar os conceitos antes da derivação implícita. Aqui o estudante pratica reta secante, reta tangente, continuidade com parâmetro e classificação de funções, sempre com correção imediata e solução passo a passo.

Como usar esta página

Resolva primeiro mentalmente ou no caderno. Depois use os campos e os botões para conferir. Quando quiser, abra a solução comentada para revisar o raciocínio com calma.

📏 Retas secantes 📐 Retas tangentes 🧩 Continuidade com parâmetro 🧠 Classificação
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Fechar esta página bem prepara o terreno para derivação implícita.
“Treinar bem aqui faz a próxima etapa ficar muito mais leve. A ideia é consolidar com precisão, sem pressa e sem decorar no escuro.”

1. Retas secantes e retas tangentes

Começamos com inclinações e leituras geométricas. Em cada exercício, vale tentar antes de abrir a solução.

Nível básico

Exercício 1 — Reta secante

Para \(f(x)=x^2\), entre \(x=1\) e \(x=3\), qual é o coeficiente angular da reta secante?

Ver solução passo a passo
Pontos da curva: \((1,1)\) e \((3,9)\).
\(m_s=\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4\)
Logo, o coeficiente angular da secante é 4.
Nível básico

Exercício 2 — Outra secante

Para \(f(x)=x^2+1\), entre \(x=0\) e \(x=2\), qual é o coeficiente angular da secante?

Ver solução passo a passo
Calculamos os valores da função: \(f(0)=1\) e \(f(2)=5\).
\(m_s=\dfrac{5-1}{2-0}=2\)
A equação da secante seria \(y=2x+1\), e seu coeficiente angular é 2.
Nível intermediário

Exercício 3 — Reta tangente

Para \(f(x)=x^2\), em \(x=1\), qual é o coeficiente angular da reta tangente?

Ver solução passo a passo
Derivamos: \(f'(x)=2x\).
\(f'(1)=2\)
Logo, o coeficiente angular da tangente em \(x=1\) é 2.
A tangente passa por \((1,1)\), então sua equação é \(y-1=2(x-1)\), isto é, \(y=2x-1\).
Desafio

Exercício 4 — Tangente em raiz

Para \(f(x)=\sqrt{x}\), em \(x=4\), qual é o coeficiente angular da reta tangente?

Ver solução passo a passo
A derivada é \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
\(f'(4)=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}\)
Logo, a inclinação da tangente é \(\dfrac14\).
Como \(f(4)=2\), a reta tangente é \(y-2=\dfrac14(x-4)\), ou seja, \(y=\dfrac14x+1\).

2. Continuidade com parâmetro

Agora o foco é determinar valores que façam a função “encaixar” no ponto.

Nível básico

Exercício 5 — Valor da função

Determine \(k\) para que a função seja contínua em \(x=1\): \[ f(x)= \begin{cases} x+1,& x<1\\ k,& x=1\\ 2x,& x>1 \end{cases} \]

Ver solução passo a passo
À esquerda, \(\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2\).
À direita, \(\lim_{x\to 1^+}(2x)=2\).
\(k=2\)
Para a função ser contínua, o valor no ponto deve coincidir com o limite comum.
Nível intermediário

Exercício 6 — Ajuste em \(x=2\)

Determine \(k\) para que a função seja contínua em \(x=2\): \[ f(x)= \begin{cases} x^2+1,& x<2\\ k,& x=2\\ 2x+1,& x>2 \end{cases} \]

Ver solução passo a passo
Limite pela esquerda: \(\lim_{x\to 2^-}(x^2+1)=5\).
Limite pela direita: \(\lim_{x\to 2^+}(2x+1)=5\).
\(k=5\)
A continuidade exige coincidência entre os dois limites e o valor da função.
Nível intermediário

Exercício 7 — Removendo o buraco

Determine \(k\) para que a função seja contínua em \(x=2\): \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2},& x\neq 2\\ k,& x=2 \end{cases} \]

Ver solução passo a passo
Para \(x\neq 2\), simplificamos:
\(\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)
Logo, o limite em \(x=2\) vale \(2+2=4\).
\(k=4\)
Desafio

Exercício 8 — Descobrindo o parâmetro

Determine \(a\) para que a função seja contínua em \(x=2\): \[ f(x)= \begin{cases} ax+1,& x<2\\ 5,& x=2\\ 3x-1,& x>2 \end{cases} \]

Ver solução passo a passo
À direita: \(\lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5\).
Então o limite pela esquerda também deve valer \(5\).
\(2a+1=5\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2\)
Assim, os dois limites e o valor da função coincidem.

3. Classificação: contínua? derivável?

Feche a fixação classificando casos importantes do começo do Cálculo.

Nível básico

Exercício 9 — Módulo

A função \(f(x)=|x|\) em \(x=0\) é:

Ver explicação
A função passa pelo ponto sem salto, então é contínua em \(0\).
Mas as derivadas laterais são diferentes: à esquerda vale \(-1\) e à direita vale \(1\).
Nível intermediário

Exercício 10 — Salto

Considere a função \[ f(x)= \begin{cases} -1,& x<0\\ 1,& x\ge 0 \end{cases} \] Em \(x=0\), ela é:

Ver explicação
Há um salto no ponto: pela esquerda a função vale \(-1\), e pela direita vale \(1\).
Sem continuidade, não existe derivada naquele ponto.
Desafio

Exercício 11 — Potência fracionária

A função \(f(x)=x^{2/3}\) em \(x=0\) é:

Ver explicação
Temos \(\lim_{x\to 0}x^{2/3}=0=f(0)\), então a função é contínua.
Mas a derivada se torna mal comportada perto de \(0\), e a derivabilidade falha nesse ponto.
Desafio

Exercício 12 — Função por partes suave

Considere \[ f(x)= \begin{cases} x^2+1,& x\le 2\\ 4x-3,& x>2 \end{cases} \] Em \(x=2\), a função é:

Ver explicação
Pela esquerda: \(\lim_{x\to 2^-}(x^2+1)=5\). Pela direita: \(\lim_{x\to 2^+}(4x-3)=5\). E \(f(2)=5\).
Derivada pela esquerda: \(2x\), então em \(2\) vale \(4\). Pela direita, a derivada é \(4\).
Como os valores coincidem, a função é contínua e derivável.

Fechamento pedagógico

Esta página fecha o bloco de fixação que prepara o estudante para avançar com segurança. Depois desse treino, o caminho mais natural é seguir para Derivação Implícita, já com base firme em secantes, tangentes, continuidade e leitura local do gráfico.

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