🔺 Derivadas Trigonométricas

Do básico à regra da cadeia — nível por nível

Observe os sinais: + e − estão destacados nas fórmulas e resoluções.

Nível 1 · Derivadas fundamentais

Memorize as 6 derivadas básicas

(sen x)' = cos x	(cos x)' = −sen x
(tg x)' = sec²x	(cotg x)' = −csc²x
(sec x)' = sec x · tg x	(csc x)' = −csc x · cotg x

1) Qual é a derivada de f(x) = cos x?

2) Qual é a derivada de f(x) = tg x?

3) Qual é a derivada de f(x) = csc x?

Nível 2 · Soma, diferença e constante

Use: a derivada da soma é a soma das derivadas; constante multiplicativa sai da derivada

1) Derive: f(x) = 3 sen x − 2 cos x

f'(x) = 3·(sen x)' − 2·(cos x)' = 3·cos x − 2·(−sen x) = 3cos x + 2sen x

2) Derive: g(x) = tg x + sec x

3) Derive (produto): h(x) = x · sen x

Regra do produto: (u·v)' = u'v + uv'
u = x → u' = 1 v = sen x → v' = cos x
h'(x) = 1·sen x + x·cos x = sen x + x·cos x

Nível 3 · Quociente

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

1) Derive usando a regra do quociente: f(x) = sen x / x

u = sen x, u' = cos x; v = x, v' = 1
f'(x) = (cos x · x − sen x · 1)/x² = (x cos x − sen x)/x²

2) Mostre que derivar tg x = sen x / cos x pela regra do quociente dá:

u=sen x, u'=cos x; v=cos x, v'=−sen x
(u'v−uv')/v² = (cos²x+sen²x)/cos²x = 1/cos²x = sec²x

Nível 4 · Regra da cadeia (simples)

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

1) Derive: f(x) = sen(3x)

2) Derive: g(x) = cos(x²)

u = x² → u' = 2x
g'(x) = −sen(u)·u' = −sen(x²)·2x = −2x sen(x²)

3) Derive: h(x) = tg(5x + 1)

Nível 5 · Cadeia combinada (produto/quociente + composição)

Combine todas as regras aprendidas

1) Derive: f(x) = sen²(x) (= [sen x]²)

u = sen x, f = u² → f' = 2u·u' = 2sen x·cos x

2) Derive: g(x) = x²·cos(3x)

Produto: u=x²(u'=2x), v=cos(3x)(v'=−3sen(3x), cadeia)
g' = u'v+uv' = 2x·cos(3x) + x²·(−3sen(3x)) = 2x cos(3x) − 3x² sen(3x)

3) Derive: h(x) = sec(x²+1) / x

u=sec(x²+1), u'=sec(x²+1)tg(x²+1)·2x (cadeia); v=x, v'=1
h' = (u'v−uv')/v² = [2x·sec(x²+1)tg(x²+1)·x − sec(x²+1)]/x²
= [2x²sec(x²+1)tg(x²+1) − sec(x²+1)]/x²

4) Produto com composição. Derive: p(x) = x·sen(x²)

Regra do produto: (u·v)' = u'v + uv'.
u = x → u' = 1; v = sen(x²) → v' = cos(x²)·2x (regra da cadeia).
p'(x) = 1·sen(x²) + x·[2x·cos(x²)]
p'(x) = sen(x²) + 2x²·cos(x²).
Válido para todo x real.

5) Produto de duas funções trigonométricas. Derive: q(x) = sen(2x)·cos(3x)

Aplique a regra da cadeia em cada fator e depois a regra do produto.
u = sen(2x) → u' = 2cos(2x).
v = cos(3x) → v' = −3sen(3x).
q'(x) = u'v + uv' = 2cos(2x)·cos(3x) + sen(2x)·[−3sen(3x)]
q'(x) = 2cos(2x)·cos(3x) − 3sen(2x)·sen(3x).
Válido para todo x real.

6) Quociente com composição. Derive: r(x) = sen(3x) / x², com x ≠ 0

Regra do quociente: (u/v)' = (u'v − uv')/v².
u = sen(3x) → u' = 3cos(3x) (regra da cadeia).
v = x² → v' = 2x.
r'(x) = [3cos(3x)·x² − sen(3x)·2x]/(x²)²
r'(x) = [3x²·cos(3x) − 2x·sen(3x)]/x⁴.
Forma equivalente: [3x·cos(3x) − 2sen(3x)]/x³, com x ≠ 0.

7) Quociente com tangente composta. Derive: s(x) = tg(2x) / (x + 1)

u = tg(2x) → u' = 2sec²(2x) (regra da cadeia).
v = x + 1 → v' = 1.
s'(x) = (u'v − uv')/v²
s'(x) = [2sec²(2x)·(x+1) − tg(2x)·1]/(x+1)².
Válido onde a função está definida: x ≠ −1 e cos(2x) ≠ 0.